PROFILBARU.COM

Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n-кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n-кортежа^[1]. Если, например, $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$ , функция может быть симметрической на всех переменных или парах $(x_{1},x_{2})$ , $(x_{2},x_{3})$ или $(x_{1},x_{3})$ . Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены, которые в этом случае являются симметрическими многочленами. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется. Также обычно не важно точное число переменных, считается что их просто достаточно много. Чтобы сделать эту идею более строгой, с помощью проективного предела осуществляется переход к так называемому кольцу симметрических функций $\Lambda$ , формально содержащему бесконечное число переменных.

Симметризация

Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем чётным перестановкам, из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции f. Единственный случай, когда f может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда n = 2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае f равна половине суммы симметризации и антисимметризации.

Кольцо симметрических функций

Рассмотрим действие симметрической группы $S_{n}$ на $\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]$ — кольцо многочленов от n переменных. Она действует перестановкой переменных. Как было сказано выше, симметрические многочлены в точности те, что не меняются под действием элементов этой группы. Таким образом, они образуют подкольцо:

\Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]^{S_{n}}

В свою очередь, $\Lambda _{n}$ является градуированным кольцом:

\Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k}

, где

\Lambda _{n}^{k}

состоит из однородных симметрических многочленов степени k, а также нулевого многочлена.

Далее с помощью проективного предела определяется кольцо симметрических функций степени k:

\Lambda ^{k}=\varprojlim _{n}\Lambda _{n}^{k}

Наконец, получаем градуированное кольцо $\Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k}$ , которое и называется кольцом симметрических функций.

Замечания.

$\Lambda$ не является проективным пределом $\Lambda _{k}$ (в категории колец). Например, бесконечное произведение $\prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})$ не содержится в $\Lambda$ , т.к. содержит мономы сколь угодно большой степени.
"Определитель" $(\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j}))^{2}$ также не имеет аналога в $\Lambda$ .

Базисы в пространстве симметрических функций

Мономиальный базис. Для каждого разбиения $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ определим моном $x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots$ Он не является симметрическим многочленом, а также содержит лишь конечное число переменных, входящих в него с ненулевой степенью. Теперь просуммируем множество мономов $x_{\alpha }^{\lambda }$ , получаемых из него всевозможными перестановками индексов $\alpha$ (каждый моном суммируется лишь один раз, даже если его можно получить с помощью нескольких различных перестановок): $m_{\lambda }=\sum _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda }$ . Легко понять, что $m_{\lambda }$ такие, что $|\lambda |=n$ образуют базис $\Lambda ^{n}$ , а значит все $m_{\lambda }$ образуют базис $\Lambda$ , который называется мономиальным.

Элементарные симметрические функции. Для каждого целого $r\geq 0$ определим $e_{r}$ — сумму всех возможных произведений из r различных переменных. Таким образом, $e_{0}=1$ , при $r\geq 1$ :

e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dots x_{i_{r}}=m_{(1^{r})}

Для каждого разбиения

\lambda

элементарная симметрическая функция это

e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\dots

Они образуют базис в пространстве

\Lambda

.

Полные симметрические функции. Для каждого целого $r\geq 0$ определим $h_{r}$ — сумму всех мономиальных функций степени r. Таким образом, $h_{0}=1$ , при $r\geq 1$ :

h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda }

Далее, как и случае элементарных функций, положим

h_{\lambda }=h_{\lambda _{1}}h_{\lambda _{2}}\dots

Степенные суммы. Для каждого $r\geq 1$ степенной суммой называется $p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r)}$ .

Для разбиения $\lambda$ степенная сумма определяется как $p_{\lambda }=p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}\dots$

Тождества.

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{k-i}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{k-i}$ , для всех k > 0,
$ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{k-i}$ , для всех k > 0,
$kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{k-i}$ , для всех k > 0.

Соотношения для производящих функций.

Легко показать, что $E(t)=\sum _{r\geq 0}e_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1+x_{i}t)$

Также $H(t)=\sum _{r\geq 0}h_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}$

Отсюда следует соотношение $H(t)E(-t)=1$

Наконец, $P(t)=\sum _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}\sum _{r\geq 1}x_{i}^{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\sum _{i\geq 1}{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)}}$ .

Аналогично получаем $P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)}}$ .

Функции Шура. Пусть имеется конечное число переменных $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ и дано разбиение $\lambda$ такое, что $l(\lambda )\leq n$ (длина разбиения не превосходит число переменных). Тогда многочленом Шура разбиения $\lambda$ от n переменных называется $s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+n-j})_{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{n-j})_{1\leq i,j\leq n}}}$ — однородный симметрический многочлен степени $|\lambda |$ . При $n\rightarrow \infty$ эти многочлены сходятся к единственному элементу $s_{\lambda }\in \Lambda$ , называемому функцией Шура разбиения $\lambda$ .

Функции Джека. При введении особого скалярного произведения на $\Lambda$ являются обобщением функций Шура, сохраняя многие из их свойств.

Приложения

U-статистика

В статистике статистика на n-выборке (функция от n переменных), полученная путём бутстрэпа симметризации статистики на выборке из k элементов, даёт симметрическую функцию от n переменных, называемую U-статистикой^[англ.]. Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию.

См. также

Примечания

↑ Ван дер Варден, 1979, с. 121.

Литература

Macdonald I. G. Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR: 1488699
Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 1st edition (неопр.). — 1979.
Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — Мир, 1984. — 224 с.
David F. N., Kendall M. G., Barton D. E. Symmetric Function and Allied Tables. — Cambridge University Press, 1966.
Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatorics: The Rota Way. — Cambridge University Press, 2009. — xii+396 с. — ISBN 978-0-521-73794-4.
— §5.1 Symmetric functions, p. 222–225.
— §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: «Наука», 1979.
— §33. Симметрические функции, с. 121.