Символ Кронекера

Не следует путать с символом Кронекера — Якоби.

Символ Кро́некера (или дельта Кронекера или кронекериа́н) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае^[1]:

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}}}$

Например, ${\displaystyle \delta _{12}=0}$, но ${\displaystyle \delta _{33}=1}$.

Использование

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса ${\displaystyle (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}$, а также — в общем случае — для определения дуальных базисов ${\displaystyle (e_{i},f^{j})=\delta _{i}^{j}}$, где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n: ${\displaystyle (\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}}$ (элементы единичной матрицы записываются как ${\displaystyle \delta _{ij}}$).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как единичный тензор^[2]. В частности, могут использоваться различные написания ${\displaystyle \delta _{ij},\delta _{j}^{i},\delta ^{ij}}$ для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров — соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае ${\displaystyle \delta _{ij},\delta _{j}^{i},\delta ^{ij}}$ — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех)^[3].

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История

Символ был введён Кронекером в 1866 году^[1].

Примечания

1. Символ Кронекера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
2. Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — С. 186. — ISBN 978-5-9221-0770-9.
3. Последнее верно лишь для случая положительно определённых метрик, тогда как понятие ортонормированности базиса часто распространяют и на случай псевдоевклидовых пространств, что уже не имеет прямого отношения к символу Кронекера.

См. также

• Символ Леви-Чивиты
• Дельта-функция