Семейство (математика)

Эта статья об индексированных семействах, о понятиях в теории множеств см. статьи: Множество, Класс (математика)

Семейство или индексированное семейство — некоторая совокупность объектов, каждый из которых ассоциирован с индексом из некоторого индексного множества. Более формально, индексированное семейство представляет собой некоторую математическую функцию ${\displaystyle x}$ вместе с её областью определения ${\displaystyle I}$ и областью значений ${\displaystyle X}$. Множество ${\displaystyle I}$ в таких обозначениях называется индексным (или просто индексом), а ${\displaystyle X}$ — индексированным множествами семейства.

Определение

Пусть ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle X}$ — некоторые множества, а ${\displaystyle x}$ — сюръективная функция

${\displaystyle {\begin{aligned}x\colon I&\to X\\i&\mapsto x_{i}=x(i).\end{aligned}}}$

Такое описание задаёт семейство элементов ${\displaystyle X}$ индексированное множеством ${\displaystyle I}$, что также обозначается как ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}}$ или просто ${\displaystyle \{x_{i}\}}$. Индексное множество при этом не обязано быть счётным.

Примеры

Индексная нотация

При использовании индексной нотации индексированные элементы образуют семейство. Например, в следующем высказывании:

• Векторы ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ линейно независимы.

Неявно вводится семейство векторов ${\textstyle \{v_{i}\}_{i\in \{1,\dots ,n\}}}$. При этом важно, что речь идёт именно о семействе, а не о множестве, так как множества не упорядочены и говорить об ${\displaystyle i}$-м элементе множества было бы бессмысленно без заданной индексации. Кроме того, линейная независимость это свойство всей совокупности объектов, поэтому важно, что речь идёт именно о семействе, а не множестве векторов.

Матрицы

В следующем высказывании:

• Матрица ${\displaystyle A}$ невырождена если и только если её строки линейно независимы.

Как и в предыдущем высказывании, строки матрицы рассматриваются именно как семейство, а не как множества. Например, для следующей матрицы:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.}$

Множество её строк состоит из единственного элемента ${\displaystyle (1,1)}$ и является линейно независимым, но матрица вырождена. В то же время семейство строк содержит два элемента и является линейно зависимым.

Прочие примеры

Пусть через ${\displaystyle {\bf {n}}}$ обозначается конечное множество ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$, где ${\displaystyle n}$ — положительное целое число.

• Упорядоченная пара — это семейство, индексированное двухэлементным множеством ${\displaystyle {\bf {2}}=\{1,2\}}$.
• Кортеж — это семейство, индексированное множеством ${\displaystyle {\bf {n}}}$.
• Последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами.
• Матрица — это семейство, индексированно декартовым произведением ${\displaystyle {\bf {n}}\times {\bf {m}}}$.
• Направленность — это семейство, индексированное направленным множеством.

Операции над семействами

Индексированные множества часто используются в суммах и подобных операциях. Например, если ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i\in I}}$ — это семейство чисел, то сумма всех таких чисел обозначается как

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}.}$

Если ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ — семейство множеств, то объединение всех элементов семейства обозначается как

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}.}$

Аналогичным образом могут быть записаны пересечения и декартовы произведения всех элементов семейства.

В теории категорий

Основная статья: Диаграмма (теория категорий)

Аналогом семейства в теории категорий являются диаграммы. Диаграмма — это функтор, определяющий семейство объектов категории ${\displaystyle C}$, индексированное некоторой другой категорией ${\displaystyle J}$, который также индексирует морфизмы категории.

См. также

• Последовательность
• Дизъюнктное объединение
• Направленность

Литература

• Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).