Преобразование Меллина

Преобразование Меллина — преобразование, которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел и в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также теорией гамма-функций и теорией смежных специальных функций.

Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика Ялмара Меллина.

Определение

Прямое преобразование Меллина задаётся формулой:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx}$.

Обратное преобразование — формулой:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}$.

Предполагается, что интегрирование происходит в комплексной плоскости. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями теоремы обратного преобразования Меллина^[англ.].

Связь с другими преобразованиями

Двусторонний интеграл Лапласа может быть выражен через преобразование Меллина:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$.

И наоборот: преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа формулой:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).}$

Преобразование Фурье может быть выражено через преобразование Меллина формулой:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)}$.

Обратно:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(is)}$.

Преобразование Меллина также связывает интерполяционные формулы Ньютона или биномиальные преобразования с производящей функцией последовательности с помощью цикла Пуассона — Меллина — Ньютона.

Примеры

Интеграл Каэна — Меллина

Если:

• ${\displaystyle c>0,}$
• ${\displaystyle \Re (y)>0,}$
• ${\displaystyle y^{-s}}$ на главной ветви^[англ.],

то^[1]

${\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds}$,

где

${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функция.

Назван по именам Ялмара Меллина и французского математика Эжена Каэна (фр. Eugène Cahen).

Преобразование Меллина для лебегова пространства

В гильбертовом пространстве преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для лебегова пространства ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ любая фундаментальная полоса включает в себя ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$. В связи с этим возможно задать линейный оператор ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ как:

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx}$.

То есть:

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)}$.

Обычно этот оператор обозначается ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$.

теоремы обратного преобразования Меллина^[англ.] показывает, что

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}$

Кроме того, этот оператор изометричен, то есть

${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$ для ${\displaystyle \forall f\in L^{2}(0,\infty )}$.

Это объясняет коэффициент ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$

Связь с теорией вероятностей

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределения случайных величин^[2].

Если:

• ${\displaystyle D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},}$
• ${\displaystyle a\leqslant 0\leqslant b,}$
• ${\displaystyle X}$ — случайная величина,
• ${\displaystyle X^{+}=\max\{X,0\},}$
• ${\displaystyle X^{-}=\max\{-X,0\},}$

то преобразование Меллина определяется как:

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица.

Преобразование Меллина ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$ случайной величины ${\displaystyle X}$ однозначно определяет её функцию распределения ${\displaystyle F_{x}}$.

Применение

Преобразование Меллина особенно важно для информационных технологий, особенно для распознавания образов.

Примечания

1. Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes (англ.) // Acta Mathematica : journal. — 1916. — Vol. 41, no. 1. — P. 119—196. — doi:10.1007/BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen’s and Mellin’s work, including Cahen’s thesis.)
2. Galambos, Simonelli, 2004, стр. 15

Литература

• Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions (англ.). — Marcel Dekker, Inc.^[англ.], 2004. — ISBN 0-8247-5402-6.
• Paris, R. B.; Kaminski, D. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals (неопр.). — Cambridge University Press, 2001.
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations (неопр.). — Boca Raton: CRC Press, 1998. — ISBN 0-8493-2876-4.
• Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums (англ.) // Theoretical Computer Science^[англ.]. — 1995. — Vol. 144, no. 1—2. — P. 3—58.
• Tables of Integral Transforms Архивная копия от 30 июня 2007 на Wayback Machine at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Mellin transform", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Mellin Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums. Архивная копия от 24 мая 2006 на Wayback Machine
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico Архивная копия от 3 ноября 2012 на Wayback Machine, newsgroup es.ciencia.matematicas
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Архивная копия от 29 января 2007 на Wayback Machine (in Spanish).
• Mellin Transform Methods Архивная копия от 11 апреля 2013 на Wayback Machine, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
• Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX Архивная копия от 14 сентября 2014 на Wayback Machine