Плотность тока

Плотность тока
${\displaystyle {\vec {j}}}$
Размерность	L^−2I
Единицы измерения
СИ	А/м^2
Примечания
векторная величина

Пло́тность то́ка — векторная физическая величина, характеризующая плотность потока электрического заряда в рассматриваемой точке. В СИ измеряется в Кл/м²/c или, что то же самое, А/м².

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд ${\displaystyle q}$, плотность тока вычисляется по формуле

${\displaystyle {\vec {j}}=n\,q\,{\vec {v}}}$,

где ${\displaystyle n}$ (м⁻³) — концентрация носителей, а ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — средняя скорость их движения. В более сложных случаях производится суммирование по носителям разных сортов.

Плотность тока имеет технический смысл силы электрического тока, протекающего через элемент поверхности единичной площади^[1]. При равномерном распределении плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, для величины вектора плотности тока выполняется:

${\displaystyle j=|{\vec {j}}|={\frac {I}{S}}}$,

где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью S. Иногда говорится о скалярной^[2] плотности тока, в таких случаях под ней подразумевается величина ${\displaystyle j}$ в формуле выше.

Варианты вычисления плотности тока

В простейшем предположении, что все носители тока (заряженные частицы) двигаются с одинаковым вектором скорости ${\displaystyle {\vec {v}}}$ и имеют одинаковые заряды ${\displaystyle q}$ (такое предположение может иногда быть приближенно верным; оно позволяет лучше всего понять физический смысл плотности тока), а концентрация их ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle {\vec {j}}=n\,q\,{\vec {v}}=\rho _{q}{\vec {v}},}$

где ${\displaystyle \rho _{q}}$ — плотность заряда этих носителей. Направление вектора ${\displaystyle {\vec {j}}}$ соответствует направлению вектора скорости ${\displaystyle {\vec {v}}}$, с которой движутся заряды, создающие ток, если q положительно. В реальности даже носители одного типа движутся вообще говоря и как правило с различными скоростями. Тогда под ${\displaystyle {\vec {v}}}$ следует понимать среднюю скорость.

В сложных системах (с различными типами носителей заряда, например, в плазме или электролитах)

${\displaystyle {\vec {j}}=\sum _{s}n_{s}q_{s}{\vec {v}}_{s}}$,

то есть вектор плотности тока есть сумма плотностей тока по всем разновидностям (сортам) подвижных носителей; где ${\displaystyle n_{s}}$ — концентрация частиц, ${\displaystyle q_{s}}$ — заряд частицы, ${\displaystyle {\vec {v}}_{s}}$ — вектор средней скорости частиц ${\displaystyle s}$-го сорта.

Выражение для общего случая может быть записано также через сумму по всем индивидуальным частицам из некоторого малого объёма ${\displaystyle V}$, содержащего рассматриваемую точку:

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {1}{V}}\sum _{i}q_{i}{\vec {v}}_{i}}$.

Сама формула почти совпадает с формулой, приведенной чуть выше, но теперь индекс суммирования i означает не номер типа частицы, а номер каждой индивидуальной частицы, не важно, имеют они одинаковые заряды или разные, при этом концентрации оказываются уже не нужны.

Плотность тока и сила тока

Связь между током и плотностью тока

В общем случае сила тока (полный ток) может быть рассчитана исходя из плотности тока по формуле

${\displaystyle I=\left|\int \limits _{S}({\vec {j}}\cdot d{\vec {S}})\right|=\left|\int \limits _{S}j_{n}\,dS\right|}$,

где ${\displaystyle j_{n}}$ — нормальная (ортогональная) составляющая вектора плотности тока по отношению к элементу поверхности площадью ${\displaystyle dS}$; вектор ${\displaystyle d{\vec {S}}}$ — специально вводимый вектор элемента поверхности, ортогональный элементарной площадке и имеющий абсолютную величину, равную её площади, позволяющий записать подынтегральное выражение как обычное скалярное произведение. Обратное нахождение плотности тока по известной силе тока невозможно; в предположении равноплотного токопротекания перпендикулярно площадке будет ${\displaystyle j=I/S}$.

Сила тока представляет собой поток вектора плотности тока через заданную фиксированную поверхность. Часто в качестве такой поверхности рассматривается поперечное сечение проводника.

Величиной плотности тока обычно оперируют при решении физических задач, в которых анализируется движение заряженных носителей (электронов, ионов, дырок и других). Напротив, использование силы тока удобнее в задачах электротехники, особенно когда рассматриваются электрические цепи с сосредоточенными элементами.

Плотность тока и законы электродинамики

Величина плотности тока фигурирует в ряде важнейших формул классической электродинамики, некоторые из них представлены ниже.

Уравнения Максвелла

Плотность тока в явном виде входит в одно из четырёх уравнений Максвелла, а именно в уравнение для ротора напряжённости магнитного поля

${\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$,

физическое содержание которого в том, что вихревое магнитное поле порождается электрическим током, а также изменением электрической индукции ${\displaystyle {\vec {D}}}$; значок ${\displaystyle \partial }$ обозначает частную производную (по времени ${\displaystyle t}$). Это уравнение приведено здесь в системе СИ.

Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла и утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус, то есть

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {j}}+{\partial \rho _{q} \over \partial t}=0}$.

Закон Ома в дифференциальной форме

В линейной и изотропной проводящей среде плотность тока связана с напряжённостью электрического поля в данной точке по закону Ома (в дифференциальной форме):

${\displaystyle {\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}}$,

где ${\displaystyle \sigma \ }$ — удельная проводимость среды, ${\displaystyle {\vec {E}}}$ — напряжённость электрического поля. Или:

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {1}{\rho }}\,{\vec {E}}}$,

где ${\displaystyle \rho \ }$ — удельное сопротивление.

В линейной анизотропной среде имеет место такое же соотношение, однако удельная электропроводность ${\displaystyle \sigma }$ в этом случае, вообще говоря, должна рассматриваться как тензор, а умножение на неё — как умножение вектора на матрицу.

Плотность тока и мощность

Работа, совершаемая электрическим полем над носителями тока, характеризуется^[3] плотностью мощности [энергия/(время•объем)]:

${\displaystyle w={\vec {E}}\cdot {\vec {j}}}$,

где точкой обозначено скалярное произведение.

Чаще всего эта мощность рассеивается в среду в виде тепла, но вообще говоря она связана с полной работой электрического поля и часть её может переходить в другие виды энергии, например такие, как энергия того или иного вида излучения, механическая работа (особенно — в электродвигателях) и т. д.

С использованием закона Ома формула для изотропной среды переписывается как

${\displaystyle w=\sigma E^{2}={\frac {j^{2}}{\sigma }}\equiv \rho j^{2}}$,

где ${\displaystyle \sigma }$ и ${\displaystyle \rho }$ — скаляры. Для анизотропного случая будет

${\displaystyle w={\vec {E}}\sigma {\vec {E}}={\vec {j}}\rho {\vec {j}}}$,

где подразумевается матричное умножение (справа налево) вектора-столбца на матрицу и на вектор-строку, а тензор ${\displaystyle \sigma }$ и тензор ${\displaystyle \rho }$ порождают соответствующие квадратичные формы.

4-вектор плотности тока

Основная статья: 4-ток

В теории относительности вводится четырёхвектор плотности тока (4-ток), составленный из объёмной плотности заряда ${\displaystyle \rho _{q}}$ и 3-вектора плотности тока ${\displaystyle {\vec {j}}:}$

${\displaystyle J^{\mu }=(c\rho _{q},{\vec {j}}),}$

где ${\displaystyle c}$ — скорость света.

4-ток является прямым и естественным обобщением понятия плотности тока на четырёхмерный пространственно-временной формализм и позволяет, в частности, записывать уравнения электродинамики в ковариантном виде.

Примечания

1. Тур А. В., Яновский В. В. Плотность электрического тока // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — С. 639. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.
2. Чаще в таких случаях она даже не называется явно скаляром, но просто не упоминается её векторный характер.
3. Это прямо следует из формул, приведенных выше вкупе с определением работы или с формулой мощности ${\displaystyle P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}$.