Пересечение
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество , которому принадлежат те и только те элементы , которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
∩ ∩ -->
B
{\displaystyle A\cap B}
A
B
{\displaystyle AB}
[ 1]
Пусть даны множества
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
∩ ∩ -->
B
=
{
x
∣ ∣ -->
x
∈ ∈ -->
A
∧ ∧ -->
x
∈ ∈ -->
B
}
.
{\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.}
Пусть дано семейство множеств
{
M
α α -->
}
α α -->
∈ ∈ -->
A
.
{\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.}
⋂ ⋂ -->
α α -->
∈ ∈ -->
A
M
α α -->
=
{
x
∣ ∣ -->
∀ ∀ -->
α α -->
∈ ∈ -->
A
,
x
∈ ∈ -->
M
α α -->
}
.
{\displaystyle \bigcap \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \forall \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.}
Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане
2
X
{\displaystyle 2^{X}}
Операция пересечения множеств коммутативна
A
∩ ∩ -->
B
=
B
∩ ∩ -->
A
;
{\displaystyle A\cap B=B\cap A;}
Операция пересечения множеств ассоциативна :
(
A
∩ ∩ -->
B
)
∩ ∩ -->
C
=
A
∩ ∩ -->
(
B
∩ ∩ -->
C
)
;
{\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);}
Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения :[ 2]
(
⋃ ⋃ -->
k
A
k
)
∩ ∩ -->
B
=
⋃ ⋃ -->
k
(
A
k
∩ ∩ -->
B
)
{\displaystyle \left(\bigcup _{k}A_{k}\right)\cap B=\bigcup _{k}\left(A_{k}\cap B\right)}
Универсальное множество
U
{\displaystyle U}
нейтральным элементом операции пересечения множеств:
A
∩ ∩ -->
U
=
A
;
{\displaystyle A\cap U=A;}
Операция пересечения множеств идемпотентна :
A
∩ ∩ -->
A
=
A
;
{\displaystyle A\cap A=A;}
Если
∅ ∅ -->
{\displaystyle \varnothing }
пустое множество , то
A
∩ ∩ -->
∅ ∅ -->
=
∅ ∅ -->
.
{\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing .}
Пусть
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A=\{1,\;2,\;3,\;4\}}
B
=
{
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}
{\displaystyle B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}}
A
∩ ∩ -->
B
=
{
3
,
4
}
.
{\displaystyle A\cap B=\{3,\;4\}.}
