Синглетон (математика)

Сингельтон^[1][2], или синглетон — множество с единственным элементом. Например, множество {0} является сингельтоном.

Свойства

Заметим, что множество {{1, 2, 3}} также является сингельтоном: единственный элемент является множеством (которое само по себе не синглетон).

Чёткое множество является сингельтоном тогда и только тогда, когда его кардинальное число равно 1. В теоретико-множественном построении натуральных чисел, число 1 определено как сингельтон {${\displaystyle \varnothing }$}, или в другой записи {{}}.

В аксиоматической теории множеств существование сингельтонов появляется вследствие аксиомы о пустом множестве и аксиомы спаривания: первая из них вводит понятие пустого множества {}, а вторая, применённая к паре {} и {}, вводит понятие сингельтона {{}}.

Если A является любым множеством и S является любым сингельтоном, тогда существует одна и только одна функция из A в S, которая отображает каждый элемент множества A в единственный элемент множества S.

Применения

В топологии пространство является T1-пространством тогда и только тогда, когда каждый сингельтон замкнут.

Структуры, построенные на сингельтонах, часто служат терминальными объектами или нулевыми объектами различных категорий:

• утверждение выше показывает, что множества-сингельтоны являются терминальными объектами в категории Set;
• любой сингельтон может быть преобразован в топологическое пространство ровно одним способом (все подмножества открыты). Эти сингельтонные топологические пространства являются терминальными объектами в категории топологических пространств и непрерывных отображений;
• любой сингельтон может быть преобразован в группу ровно одним способом (единственный элемент служит нейтральным элементом). Такие сингельтонные группы являются нулевыми объектами в категории групп и групповых гомоморфизмов.

См. также

• Класс (теория множеств)

Примечания

1. Назаров Д. М., Конышева Л. К. Интеллектуальные системы: основы теории нечетких множеств, 2019, с. 13.
2. Мациевский С. В., Толстель О. В. Нечеткие системы, 2017, с. 15.

Литература

• Мациевский С. В., Толстель О. В. Нечеткие системы : учебное пособие / Изд. 2-е, испр. и адаптир. Калининград: Изд-во БФУ им. И. Кана, 2017. 89 с., ил. ISBN 978-5-9971-0465-8.
• Назаров Д. М., Конышева Л. К. Интеллектуальные системы: основы теории нечетких множеств : учебное пособие для академического бакалавриата / 3-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во Юрайт, 2019. 186 с., ил. ISBN 978-5-534-07496-3.