Бенур Пашаян родился 13 февраля 1959 года в селе Азаврети (Азаврет) Ахалкалакского района Грузинской ССР. В 1969 году вместе с семьёй переехал в село Джрвеж. Начал заниматься греко-римской борьбой в возрасте 14 лет в Ереване. Тренировался под руководством Альберта Мнацаканяна и Арутюна Хачатряна. В 1977 и 1979 годах становился чемпионом мира среди юниоров.
Бенур Пашаян был главным фаворитом Олимпийских игр в Лос-Анджелесе (1984) в своей весовой категории, однако незадолго до начала Олимпиады политическое руководство СССР приняло решение о её бойкоте советскими спортсменами. Вместе с борцами из присоединившихся к бойкоту социалистических стран участвовал в соревнованиях «Дружба-84» и стал их победителем.
В 1985 году Бенур Пашаян завершил свою спортивную карьеру. В 1986—1989 годах был тренером сборной Армянской ССР. В 1989 году окончил Армянский государственный институт физической культуры. В 1999—2000 годах занимал пост президента Национального олимпийского комитета Армении.
