Неравенство треугольника

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны меньше суммы длин двух других сторон).

Евклидова геометрия

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Неравенство

${\displaystyle AC\leqslant AB+BC,}$

выполняется в любом треугольнике ${\displaystyle \triangle ABC}$. Причём равенство ${\displaystyle AC=AB+BC}$ достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка ${\displaystyle B}$ лежит на отрезке ${\displaystyle AC}$.

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство

Пусть ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ — нормированное векторное пространство, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ норма. Тогда по определению последней справедливо:

${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.}$

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство

Пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ — метрическое пространство, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle \rho }$ — определённая на ${\displaystyle X}$ метрика. Тогда по определению последней

${\displaystyle \rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.}$

Вариации и обобщения

• ${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))}$ Сильное неравенство треугольника

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

• ${\displaystyle {\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;}$
• ${\displaystyle |\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.}$

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

См. также: Сферическая геометрия

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Произвольное число точек

Обозначим ${\displaystyle \rho (x_{i},x_{j})}$ расстояние между точками ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}}$. Тогда имеет место следующее неравенство: ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+\rho (x_{m-1},x_{m})}$. Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...}$^[1]

См. также

• Неравенство четырёхугольника
• Теорема о внешнем угле треугольника

Примечания

1. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28