Неравенство Больцмана

Нера́венство Бо́льцмана — неравенство, связывающее любую функцию распределения, удовлетворяющую уравнению Больцмана, и интеграл столкновений.

Формулировка

Для любой функции распределения ${\displaystyle f}$, удовлетворяющей уравнению Больцмана, выполняется неравенство

${\displaystyle \int (\ln f)Q(f,f){\frac {{\rm {d}}\mathbf {p} }{m}}\leqslant 0,}$

где ${\displaystyle Q(f,f)}$ — интеграл столкновений, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ — импульс, ${\displaystyle m}$ — масса частиц. Знак равенства при этом достигается в том и только том случае, когда ${\displaystyle f(\mathbf {p} )=\exp \left({a+\left(\mathbf {b} ,{\frac {\mathbf {p} }{m}}\right)+c\,{\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\right),}$ что соответствует распределению Максвелла (здесь ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle c}$ — скалярные, а ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — векторная константы; внутренние круглые скобки обозначают скалярное произведение векторов)^[1].

Доказательство

Доказательство есть в известной книге К. Черчиньяни^{[англ.][2]}.

Примечания

1. Karniadakis G. M., Beskok A., Aluru N. . Microflows and Nanoflows: Fundamentals and Simulation. — New York: Springer Science & Business Media, 2005. — xxi + 818 p. — (Interdisciplinary Applied Mathematics, vol. 29). — ISBN 978-0387-22197-7. — P. 589.
2. Черчиньяни, 1978, с. 93.

Литература

• Черчиньяни К. . Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.