Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы ${\displaystyle M}$ с элементами из некоторого поля ${\displaystyle K}$ невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

• ${\displaystyle M}$ обратима, то есть существует обратная матрица^[1];
• строки (столбцы) матрицы ${\displaystyle M}$ линейно независимы^[2];
• ранг матрицы ${\displaystyle M}$ равен её размерности^[3].

Совокупность всех невырожденных матриц порядка ${\displaystyle n}$ образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Полная линейная группа обычно обозначается как ${\displaystyle GL(n)}$^[4]. Если требуется явно указать, какому полю ${\displaystyle K}$ должны принадлежать элементы матрицы, то пишут ${\displaystyle GL(n,K)}$^[5]. Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка ${\displaystyle n}$ обозначается ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$, а если комплексные числа, то ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$.

Матрица порядка ${\displaystyle n}$ заведомо невырождена, если это^[6]:

• диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу ${\displaystyle D(n,K)}$);
• верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу ${\displaystyle T(n,K)}$);
• нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;
• унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу ${\displaystyle UT(n,K)}$).
• матрица ${\displaystyle M}$ является результатом взятия матричной экспоненты от матрицы ${\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {C} )}$, то есть ${\displaystyle M=e^{A}}$

Примечания

1. Кострикин, 1977, с. 126.
2. Кострикин, 1977, с. 127.
3. Кострикин, 1977, с. 129—130.
4. Рохлин, Фукс, 1977, с. 271.
5. Кострикин, Манин, 1986, с. 34.
6. Гантмахер, 1966, с. 28.

Литература

• Кострикин, А. И. Введение в алгебру (рус.). — М.: Наука, 1977. — 496 с.
• Кострикин, А. И., Манин, Ю. И. Линейная алгебра и геометрия (рус.). — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Рохлин, В. А., Фукс, Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы (рус.). — М.: Наука, 1977.
• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц (рус.). — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.