Надстройка (топология)

В топологии, надстройкой над топологическим пространством ${\displaystyle X}$ с отмеченной точкой ${\displaystyle x_{0}}$ называется топологическое пространство ${\displaystyle SX}$, являющееся фактор-пространством пространства ${\displaystyle X\times [0,1]}$ полученное стягиванием подмножества ${\displaystyle X\times 0}$ в одну точку, а ${\displaystyle X\times 1}$ - в другую.

Приведённой надстройкой над топологическим пространством ${\displaystyle X}$ с отмеченной точкой ${\displaystyle x_{0}}$ называется топологическое пространство ${\displaystyle SX}$, являющееся фактор-пространством пространства ${\displaystyle X\times [0,1]}$ полученное стягиванием подмножества ${\displaystyle (X\times 0)\cup (x_{0}\times [0,1])\cup (X\times 1)}$ в одну точку.

Надстройка над окружностью. Исходное пространство отмечено синим, верхняя и нижняя точки зелёным.

Грубо говоря, надстройку можно себе представлять как цилиндр над пространством X, у которого отождествили в точку как верхнюю, так и нижнюю границу. Также можно рассматривать надстройку как объединение двух конусов (верхнего и нижнего) над пространством X, склееных по общему основанию.

Если ${\displaystyle (x,t)\in X\times [0,1]}$, то через ${\displaystyle [x,t]}$ обозначается соответствующая точка пространства ${\displaystyle SX}$ при проекции ${\displaystyle X\times [0,1]\rightarrow SX}$. Если ${\displaystyle SX}$ - приведённая надстройка, то ${\displaystyle [x,0]=[x_{0},t]=[x',1]}$ для всех ${\displaystyle x,x'\in X,{\text{ }}t\in [0,1]}$. Точка ${\displaystyle [x_{0},0]\in SX}$ обозначается через ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle SX}$ рассматривается как пространство с отмеченной точкой ${\displaystyle x_{0}}$.

Если задано отображение ${\displaystyle f:X\rightarrow X'}$, то формулой ${\displaystyle Sf[x,t]=[f(x),t]}$ определено отображение ${\displaystyle Sf:SX\rightarrow SX'}$. При этом ${\displaystyle S}$ - ковариантный функтор из категории пространств с отмеченной точкой и непрерывных отображений в категорию Н-когрупп и непрерывных гомоморфизмов. Пространство ${\displaystyle SX}$ является Н-когруппой с коумножением ${\displaystyle \nu :SX\rightarrow SX\vee SX}$, определённым формулой

${\displaystyle \nu ([x,t])={\begin{cases}([x,2t],x_{0}),&0\leq t\leq 1/2\\(x_{0},[x_{0},2t-1]),&1/2\leq t\leq 1\end{cases}}}$.

Свойства

• Надстройка над пространством X гомеоморфна джойну ${\displaystyle X\star S^{0}}$ пространства X и двухточечного множества («нульмерной сферы») ${\displaystyle S^{0}}$.
• При ${\displaystyle n\geq 0}$ пространство ${\displaystyle S(S^{n})}$ гомеоморфно ${\displaystyle S^{n+1}}$.
• Гомологии надстройки оказываются тесно связаны с гомологиями исходного пространства, грубо говоря, отличаясь (исключая нульмерные) сдвигом на одну размерность. Более точно, приведённые гомологии в точности сдвигаются на одну размерность: ${\displaystyle {\overline {H}}_{k}(SX)={\overline {H}}_{k-1}(X)}$ для всех k.

См. также

• Теорема о двойной надстройке
• Конус (топология)
• Н-когруппа

Ссылки

• Записки лекций по теории гомологий, М.Э.Казарян
• Спеньер Э. - Алгебраическая топология (1971)