Конус (топология)

Конус окружности. Исходное пространство выделено голубым цветом, стянутая конечная точка выделена зелёным цветом.

Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства ${\displaystyle X}$ стягиванием подпространства ${\displaystyle X\times \{0\}}$ его цилиндра (${\displaystyle X\times [0,1]}$) в одну точку, то есть, факторпространство ${\displaystyle (X\times [0,1])/(X\times \{0\})}$. Конус над пространством ${\displaystyle X}$ обозначается ${\displaystyle \mathrm {C} X}$.

Если ${\displaystyle X}$ — компактное подмножество евклидова пространства, то конус над ${\displaystyle X}$ гомеоморфен объединению отрезков из ${\displaystyle X}$ в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического. Однако топологический конус является более общей конструкцией.

Примеры

Конус над точкой ${\displaystyle p}$ вещественной прямой — это интервал ${\displaystyle \{p\}\times [0,1]}$, конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником ${\displaystyle P}$ — это пирамида с основанием ${\displaystyle P}$. Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса:

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}}$,

гомеоморфная кругу.

В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому ${\displaystyle (n+1)}$-мерному шару. Конус над ${\displaystyle n}$-симплексом — ${\displaystyle (n+1)}$-симплекс.

Свойства

Конус ${\displaystyle \mathrm {C} X}$ может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения ${\displaystyle X\to \{0\}}$ ^[1].

Все конусы являются линейно связными, поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии, задаваемой формулой ${\displaystyle h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)}$.

Если ${\displaystyle X}$ является компактным и хаусдорфовым, то конус ${\displaystyle \mathrm {C} X}$ можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку ${\displaystyle X}$ с единственной точкой; если ${\displaystyle X}$ не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве ${\displaystyle \mathrm {C} X}$ будет тоньше, чем множество отрезков, соединяющих ${\displaystyle X}$ с точкой.

В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство ${\displaystyle X}$ стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.

Конический функтор

Отображение ${\displaystyle X\mapsto \mathrm {C} X}$ порождает конический функтор — эндофунктор ${\displaystyle \mathrm {C} :\mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }$ над категорией топологических пространств ${\displaystyle \mathbf {Top} }$.

Приведённый конус

Приведённый конус — конструкция над пунктированным пространством^{[англ.][2]} ${\displaystyle (X,x_{0})}$:

${\displaystyle \mathrm {C} (X,x_{0})={\big (}X\times [0,1]{\big )}/{\big (}(X\times \left\{0\right\})\cup (\left\{x_{0}\right\}\times [0,1]){\big )}}$.

Естественное вложение ${\displaystyle x\mapsto (x,1)}$ позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конуса^[3].

См. также

• Надстройка (топология)
• Конус отображения (топология)^[англ.]
• Конус отображения (гомологическая алгебра)^[англ.]
• Джойн (топология)

Примечания

1. Спеньер, 1971, с. 77.
2. Свитцер, 1985, с. 13.
3. Спеньер, 1971, с. 469.

Литература

• Ален Хатчер. Алгебраическая топология. — Москва: Издательство МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-940-57-748-5.
• Р. М. Свитцер. Алгебраическая топология – гомотопии и гомологии. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
• Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — Москва: «Мир», 1971.