Мост Вина

Рисунок 1. Электрическая схема моста Вина — Робинсона

Мост Ви́на (иногда в литературе — мост Вина — Робинсо́на^[1]) — пассивный четырёхполюсник, коэффициент передачи которого зависит от частоты. Одна пара плеч моста представляет собой последовательно и параллельно соединённые RC-цепи, составляющие квазирезонансную частотно-избирательную цепь, другая пара плеч — резистивный делитель напряжения. Модуль передаточной функции сигнала диагонали моста имеет минимум при некотором соотношении величин двухполюсников, входящих в состав схемы, и является характеристикой заграждающего фильтра.

Предложен Максом Вином в 1891 году.

Применяется в некоторых RC-генераторах для построения автогенераторов синусоидального сигнала с малыми искажениями, удовлетворительной стабильностью частоты и достаточно широким диапазоном перестройки по частоте. Иногда применяется в качестве полосно-заграждающего фильтра.

Мост может быть использован для измерения ёмкости и паразитных параметров конденсаторов, например эквивалентного паразитного последовательного сопротивления (ЭПС), в измерителях нелинейных искажений и др.

Теория

Рисунок 2. Модуль передаточной функции частотно-зависимого делителя напряжения моста Вина при ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ и ${\displaystyle C_{1}=C_{2}}$. Максимум модуля равен 1/3 на частоте ${\displaystyle \omega _{0}=1/{RC}}$.

Рисунок 3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика напряжения ${\displaystyle U_{O}=U_{O2}-U_{O1}}$ диагонали моста Вина при ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ и ${\displaystyle C_{1}=C_{2}}$.

В общем случае мост состоит из четырёх резисторов и двух конденсаторов, различных по величине сопротивления и ёмкости. Частотно-зависимой цепью моста является делитель напряжения, состоящий из конденсаторов ${\displaystyle C_{1},\ C_{2}}$ и резисторов ${\displaystyle R_{1},\ R_{2}}$. Передаточная функция ${\displaystyle H_{dRC}(j\omega )}$ частотно-зависимого делителя напряжения выражается как:

${\displaystyle H_{dRC}(j\omega )={{{R_{1}}||{Z_{C_{1}}}} \over {{R_{1}}||{Z_{C_{1}}}+{Z_{C_{2}}}+{R_{2}}}}=}$

${\displaystyle ={{{R_{1}}||{(1/j\omega C_{1})}} \over {{R_{1}}||{(1/j\omega C_{1})}+{(1/j\omega C_{2})}+{R_{2}}}},}$

где ${\displaystyle Z_{C_{1}},\ Z_{C_{1}}}$ — реактивные сопротивления конденсаторов ${\displaystyle C_{1},\ C_{1};}$

${\displaystyle j}$ — мнимая единица.

Символом ${\displaystyle ||}$ обозначено параллельное соединение элементов, например:

${\displaystyle {{{R_{1}}||{Z_{C_{1}}}}={{R_{1}\cdot Z_{C_{1}}} \over {R_{1}+Z_{C_{1}}}}}.}$

Передаточная функция напряжения, снимаемого с диагонали моста ${\displaystyle U_{O}=U_{O2}-U_{O1}}$ равно разности передаточных функций резистивного делителя ${\displaystyle R_{3},\ R_{4}}$ и частотно-зависимого делителя напряжения:

${\displaystyle H_{U_{O}}(j\omega )={\frac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}-{{{R_{1}}||{(1/j\omega C_{1})}} \over {{R_{1}}||{(1/j\omega C_{1})}+{(1/j\omega C_{2})}+{R_{2}}}}.}$

Явное выражение для этой функции через сопротивления резисторов и ёмкости конденсаторов громоздко. Можно показать, что частота колебаний ${\displaystyle \omega _{0U_{O}}}$, при которой будет наблюдаться минимум модуля комплексной амплитуды напряжения ${\displaystyle U_{O}}$ диагонали моста будет:

${\displaystyle \omega _{0U_{O}}={1 \over {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}.}$

Если при этом дополнительно выполняются соотношение между ёмкостями конденсаторов и сопротивлениями резисторов в виде:

${\displaystyle {C_{1} \over C_{2}}={R_{4} \over R_{3}}-{R_{2} \over R_{1}},}$

то модуль комплексной амплитуды напряжения диагонали моста обращается в нуль.

Обычно в фильтрах, генераторах синусоидальных колебаний применяют мост Вина в котором ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=R}$ и ${\displaystyle C_{1}=C_{2}=C.}$ При таком выборе математические выражения существенно упрощаются.

Передаточная функция частотно-зависимого делителя напряжения:

${\displaystyle H_{RC}(j\omega )={{j\omega T} \over {-{\omega ^{2}}{T^{2}}+3j\omega T+1}}={{j\Omega } \over {-{\Omega ^{2}}+3j\Omega +1}}.}$

Модуль передаточной функции частотно-зависимого делителя напряжения (см. рисунок 2):

${\displaystyle |H_{RC}(j\omega )|=\omega T{\sqrt {1 \over {{\omega ^{4}}{T^{4}}+7{\omega ^{2}}{T^{2}}+1}}}=\Omega {\sqrt {1 \over {{\Omega ^{4}}+7{\Omega ^{2}}+1}}}.}$

Здесь обозначено ${\displaystyle \Omega =\omega RC=\omega T=\omega /{\omega _{0}},\ }$ ${\displaystyle \Omega }$ — нормированная безразмерная частота, ${\displaystyle T=RC}$ — постоянная времени RC-цепи, ${\displaystyle \omega _{0}=1/RC}$ — частота максимума модуля передаточной функции.

При входной частоте ${\displaystyle \omega =\omega _{0},\ }$ то есть, при ${\displaystyle \Omega =1\ }$модуль коэффициента передачи частотно-зависимого делителя имеет максимум и равен 1/3 и фазовый сдвиг относительно входного напряжения становится равным нулю.

Если выбрать коэффициент передачи ${\displaystyle K_{R}=R_{3}/(R_{3}+R_{4})}$ резистивного делителя ${\displaystyle R_{3},\ R_{4}}$ равным 1/3, то есть ${\displaystyle R_{4}=2R_{3},}$ то при ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$ напряжение диагонали моста станет нулевым.

Передаточная функция напряжения диагонали моста с таким соотношением номиналов компонентов:

${\displaystyle H(j\omega )={1 \over 3}\cdot {{1-{\Omega ^{2}}} \over {-{\Omega ^{2}}+3j\Omega +1}},}$

и модуль этой передаточной функции:

${\displaystyle |H(j\omega )|={1 \over 3}\cdot {{|1-{\Omega ^{2}}|} \over {\sqrt {{{(1-{\Omega ^{2}})}^{2}}+9{\Omega ^{2}}}}}.}$

Фазовый сдвиг ${\displaystyle \varphi }$ между входным и выходным напряжениями:

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \left({{-3\Omega } \over {1-{\Omega ^{2}}}}\right),\ \Omega \neq 1.}$

Графики модуля и фазового сдвига напряжения диагонали моста в полулогарифмических координатах приведены на рисунке 3.

Применение

Рисунок 4. Вариант применения моста Вина для измерения ёмкости и параллельного паразитного сопротивления исследуемого конденсатора.

Мост Вина может использоваться для измерений параметров конденсаторов. При этом в одно из плечей моста включают исследуемый конденсатор, варьируя входящие в мост сопротивления переменных резисторов и ёмкости переменных конденсаторов, а также частоту синусоидального напряжения питания моста, добиваются его балансировки, то есть равенства нулю напряжения диагонали моста.

Неизвестные параметры исследуемого конденсатора можно при этом получить из решения системы уравнений при известных ${\displaystyle \omega _{bal}}$ — частоты, при которой мост сбалансирован, и величин ${\displaystyle R_{2},\ C_{2},\ R_{3},\ R_{4}}$:

${\displaystyle \omega _{bal}={1 \over {\sqrt {R_{x}R_{2}C_{x}C_{2}}}},}$

${\displaystyle {C_{x} \over C_{2}}={R_{4} \over R_{3}}-{R_{2} \over R_{x}}.}$

Решение этой системы уравнений:

${\displaystyle C_{x}={{C_{2}R_{4}} \over {R_{3}(R_{2}^{2}C_{2}^{2}\omega _{bal}^{2}+1)}},}$

${\displaystyle R_{x}={{R_{3}}{(R_{2}^{2}C_{2}^{2}\omega _{bal}^{2}+1)} \over {R_{2}C_{2}^{2}R_{4}\omega _{bal}^{2}}}.}$

Соответственно, аналогично можно определить эквивалентное последовательное сопротивление конденсатора, слегка видоизменив схему включения — выполнить регулируемыми ${\displaystyle R_{x},\ C_{x}}$ и вместо ${\displaystyle C_{2},\ R_{2}}$ включить исследуемый конденсатор.

Традиционно мост Вина применяется в генераторах синусоидального сигнала с очень малым коэффициентом гармоник выходного сигнала, где он включен во положительную обратную связь усилителя с автоматически точно поддерживаемым коэффициентом передачи равным 1/3.

Также мост Вина применяется в измерителях нелинейных искажений в качестве фильтра-подавителя первой основной гармоники исследуемого сигнала.

См. также

• Автогенератор на основе моста Вина
• Фильтр (электроника)
• Полосовой фильтр

Примечания

1. Новиков, 2011, p. 159.

Литература

• Новиков Ю. Н. Основные понятия и законы теории цепей, методы анализа процессов в цепях. Учебное пособие для вузов. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2011.
• Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники: В 3-х томах = The Art of Electronics: Second Edition (© Cambridge University Press, 1980, 1989) / Пер. с англ.: Б. Н. Бронина, И. И. Короткевич, А. И. Коротова, М. Н. Микшиса, Л. В. Поспелова, О. А. Соболевой, К. Г. Финогенова, Ю. В. Чечёткина, М. П. Шарапова. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — М.: Мир, 1993. — 50 000 экз. — ISBN 5-03-002336-4, 5-03-002337-2, 5-03-002338-0, 5-03-002954-0.

• Довгун В. П. Электротехника и электроника. Учебное. пособие в 2 ч. / В. П. Довгун / Министерство образования и науки РФ. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2006. — 252 с.