Модель Крамера — Лундберга

Модель Крамера — Лундберга — математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. Частный случай модели Спарре — Андерсена, в которой процесс восстановления является пуассоновским. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью ${\displaystyle a}$ условных денежных единиц за единицу времени, то есть ${\displaystyle a>0}$ — размер страховой премии. Модель позволяет определить размер страховой премии, необходимой для не разорения компании.

Обозначения

Модель страхования заключается в описании случайного процесса ${\displaystyle Y_{t}}$, характеризующего капитал компании в момент времени ${\displaystyle t}$.

Модель выглядит так:

${\displaystyle Y_{t}=y_{0}+at-\sum _{k=1}^{N_{t}}\eta _{k},}$ где

${\displaystyle Y_{t}}$ — капитал компании в момент времени ${\displaystyle t}$,

${\displaystyle y_{0}}$ — стартовый капитал, ${\displaystyle y_{0}>0}$,

${\displaystyle a}$ – скорость поступления страховых взносов,

${\displaystyle N_{t}}$ — количество страховых исков от начала до момента времени ${\displaystyle t}$,

${\displaystyle \eta _{k}}$— сумма выплат по ${\displaystyle k}$-му страховому случаю, выплата происходит в момент времени ${\displaystyle T_{k}}$.

Cлучайный процесс ${\displaystyle N_{t}}$ разумно задать как пуассоновский процесс интенсивности ${\displaystyle \lambda >0}$. В таком случае модель называется моделью Крамера — Лундберга^[1]. Это связано с тем, что страховые случаи не связаны друг с другом, поэтому случайная величина, равная промежутку времени между двумя страховыми случаями, будет иметь экспоненциальное распределение (так как у этого распределения есть свойство "отсутствия памяти"). Чтобы перейти от промежутков между страховыми выплатами к случайному процессу, зависящему от времени ${\displaystyle t}$, будем рассматривать процесс восстановления:

${\displaystyle \{\xi _{1},\dots ,\xi _{n}\}}$ – независимые случайные величины, имеющие распределение ${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )}$ (промежутки времени между страховыми случаями),

${\displaystyle S_{0}=0,S_{n}=\xi _{1}+\dots +\xi _{n}}$,

${\displaystyle N_{t}=\sup\{n:S_{n}\leqslant t\},t\geqslant 0}$.

Этот процесс восстановления есть явная конструкция пуассоновского процесса. Таким образом задание ${\displaystyle N_{t}}$ обосновано.

Компания считается разорившейся, если ${\displaystyle Y_{t}\leqslant 0}$. Пусть ${\displaystyle \mathrm {T} =\inf\{t\geqslant 0:Y_{t}\leqslant 0\}}$ — первый момент времени, когда капитал компании становится нулевым или отрицательным. Наша задача найти вероятность разорения: ${\displaystyle \mathrm {P} (T<\infty )}$.

Математические выкладки

1. Из свойств пуассоновского процесса получаем распределение количества выплат для каждого момента времени ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \mathrm {P} (N_{t}=k)=e^{-\lambda t}{\dfrac {(\lambda t)^{k}}{k!}}}$.

2. Предположим что размер выплат ${\displaystyle \eta _{k}}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с ${\displaystyle \mathrm {E} \eta _{1}=\mu }$^[2].

${\displaystyle \mathrm {E} (X_{t}-X_{0})=\mathrm {E} X_{t}-\mathrm {E} X_{0}=(y_{0}+at-\mathrm {E} \sum _{k}\eta _{k}\mathbf {I} (T_{k}\leqslant t))-(y_{0}+0-0)=}$

${\displaystyle =at-\sum _{k}\mathrm {E} \eta _{k}\mathbf {I} (T_{k}\leqslant t)=}$

${\displaystyle =at-\sum _{k}\mathrm {E} \eta _{k}\mathrm {E} \mathbf {I} (T_{k}\leqslant t)=}$

${\displaystyle =at-\mathrm {E} \eta _{k}\sum _{k}\mathrm {E} \mathbf {I} (T_{k}\leqslant t)=}$

${\displaystyle =at-\mu \sum _{k}\mathrm {P} (T_{k}\leqslant t)=}$

${\displaystyle =at-\mu \sum _{k}\mathrm {P} (N_{t}\geqslant k)=}$

${\displaystyle =at-\mu \mathrm {E} N_{t}=t(a-\mu \lambda ).}$

Отсюда получаем условие, состоящее в том, что компания (в среднем) работает с положительной прибылью (то есть ${\displaystyle \mathrm {E} (X_{t}-X_{0})>0}$), когда

${\displaystyle a>\mu \lambda }$.

Смысл этого выражения такой: для положительной прибыли (в среднем) страховой взнос должен быть больше, чем средняя выплата в случае страхового случая, умноженная на величину, обратную среднему времени между двумя страховыми случаями.

Выводы модели

С помощью статистических или иных методов, страховая компания должна вычислить средний размер одной страховой выплаты, а также вероятность наступления страхового случая. Размер страховой премии должен быть установлен на уровне не меньшем, чем произведение ${\displaystyle \lambda }$ (вероятность предъявления страхового иска за единицу времени) и средней стоимости страхового иска ${\displaystyle \mu }$. В таком случае, вероятность того, что страховая компания не разорится будет ненулевая.

Примечания

1. Муромская А. А., с. 180.
2. Ширяев А. Н., 2011, с. 783.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность-2. — М.: МЦНМО, 2011. — 416 с.
• Муромская А. А. Оценка вероятности разорения акционерной страховой компании в рамках модели риска Спарре-Андерсена. — М.: МГУ им. Ломоносова.