Многозначная функция

Функция от элемента «3» принимает два значения

Многозна́чная фу́нкция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента^[1].

Определение

Функция ${\displaystyle F}$, которая каждому элементу множества ${\displaystyle X}$ ставит в соответствие некоторое подмножество множества ${\displaystyle Y,}$ называется многозначной функцией^[2], если хотя бы для одного ${\displaystyle x\in X}$ значение ${\displaystyle F(x)}$ содержит более одного элемента ${\displaystyle Y.}$

Обычные (однозначные) функции можно рассматривать как частный случай многозначных, у которых значение состоит ровно из одного элемента.

Примеры

Простейший пример — двузначная функция квадратного корня из положительного числа, у неё два значения, различающиеся знаком. Например, квадратный корень из 16 имеет два значения — ${\displaystyle +4}$ и ${\displaystyle -4.}$

Другой пример — обратные тригонометрические функции (например, арксинус) — поскольку значения прямых тригонометрических функций повторяются с периодом ${\displaystyle 2\pi }$ или ${\displaystyle \pi ,}$ то значения обратных функций многозначны («бесконечнозначны»), все они имеют вид ${\displaystyle \varphi +2k\pi }$ или ${\displaystyle \varphi +k\pi ,}$ где ${\displaystyle k}$ — произвольное целое число.

Многозначные функции неудобно использовать в формулах, поэтому из их значений нередко выделяют одно, которое называют главным. Для квадратного корня это неотрицательное значение (то есть, арифметический квадратный корень), для арксинуса — значение, попадающее в интервал ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ и т. д.

Первообразную функцию (неопределённый интеграл) также можно рассматривать как бесконечнозначную функцию, поскольку она определена с точностью до константы интегрирования.

В комплексном анализе и алгебре

Характерный пример многозначных функций — некоторые аналитические функции в комплексном анализе. Неоднозначность возникает при аналитическом продолжении по разным путям. Также часто многозначные функции получаются в результате взятия обратных функций.

Например, корень n-й степени из любого ненулевого комплексного числа принимает ровно ${\displaystyle n}$ значений. У комплексного логарифма число значений бесконечно, одно из них объявлено главным.

В комплексном анализе понятие многозначной функции тесно связано с понятием римановой поверхности — поверхности в многомерном комплексном пространстве, на которой данная функция становится однозначной.

См. также

• Многозначное отображение

Примечание

1. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. Функции со специальными свойствами. (а), стр.99.  (неопр.) Дата обращения: 26 января 2012. Архивировано 19 января 2015 года.
2. Кудрявцев Л. Д. Многозначная функция // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 720.

Литература

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд.. — М.: Наука, 1972.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.