Минимальная поверхность

Минимальная поверхность Косты

Минимальная поверхность — гладкая поверхность с нулевой средней кривизной.

Название объясняется тем, что гладкая поверхность с заданным контуром, минимизирующая площадь, является минимальной. Однако не всякая минимальная поверхность минимизирует площадь среди поверхностей с заданным контуром.

Примеры

• Геликоид
• Катеноид
• Поверхность Шерка
• Поверхность Эннепера
• Поверхность Чена — Гакстаттера

Свойства

• Асимптотические линии на минимальной поверхности образуют изотермическую сеть.
• Вообще говоря, минимальная поверхность с краем может не иметь минимальной площади среди всех поверхностей с данным контуром. Но любая точка минимальной поверхности содержится в диске, минимизирующем площадь при данном контуре.
  • Более того, если компактная минимальная поверхность является графиком ${\displaystyle z=f(x,y)}$ гладкой функции, определённой на выпуклой области в ${\displaystyle (x,y)}$-плоскости, то она минимизирует площадь среди всех поверхностей с данной границей.^[1]
• Формула монотонности

История

Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу (1768), который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность, задаваемую в виде ${\displaystyle z=f(x,y)}$, Лагранж определил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа.

Позже Монж (1776) обнаружил, что условие минимальности площади поверхности влечёт, что её средняя кривизна равна нулю. Поэтому за поверхностями с ${\displaystyle H=0}$ закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие ${\displaystyle H=0}$ представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей.

Примечания

1. Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. Calibrated geometries. Acta Math. 148 (1982), 47–157.

Ссылки

• Евгений Степанов Видео-лекции: минимальные поверхности  (рус.)