Метод Остроградского

Метод Остроградского — метод интегрирования рациональных функций с кратными неприводимыми множителями в знаменателе. Метод позволяет одними лишь алгебраическими операциями свести задачу интегрирования произвольной рациональной функции к задаче интегрирования рациональной функции без кратных корней в знаменателе.

История

Метод Остроградского назван по имени М. В. Остроградского, впервые предложившего его 22 ноября 1844 года на заседании физико-математического отделения Академии наук^[1], опубликован в следующем году на французском языке^[2], статья переведена на русский в 1958 г.^[1]

Описание метода

Любой интеграл от рациональной функции можно представить в виде

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx}$.

Здесь ${\displaystyle Q_{2}(x)}$ представляет собой произведение всех неприводимых множителей многочлена ${\displaystyle Q(x)}$ без учёта кратности (то есть каждый неприводимый множитель многочлена ${\displaystyle Q(x)}$ встречается в разложении многочлена ${\displaystyle Q_{2}(x)}$ один раз), ${\displaystyle Q_{1}(x)}$ — произведение всех неприводимых множителей многочлена ${\displaystyle Q(x)}$ с пониженной на 1 кратностью (каждый неприводимый множитель многочлена ${\displaystyle Q(x)}$ кратности ${\displaystyle n}$ встречается в разложении многочлена ${\displaystyle Q_{1}(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ раз). Дробь ${\displaystyle {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}}$ является правильной. Эта формула называется формулой Остроградского. ${\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}}$ здесь есть алгебраическая (рациональная) часть интеграла от рациональной функции ${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx}$, а ${\displaystyle \int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx}$ — трансцендентная.

Суть метода заключается в следующем. Запишем многочлены ${\displaystyle P_{1}(x)}$ и ${\displaystyle P_{2}(x)}$ с неопределёнными коэффициентами:

${\displaystyle P_{1}(x)=A_{s}x^{s}+\ldots +A_{1}x+A_{0}}$

${\displaystyle P_{2}(x)=B_{r}x^{r}+\ldots +B_{1}x+B_{0}}$.

Степени многочленов можно выяснить позже, а можно заранее взять наверняка. Пусть далее ${\displaystyle \operatorname {deg} {P}=n,\ \operatorname {deg} {Q}=m,\ \operatorname {deg} {Q_{2}}=p,\ \operatorname {deg} {Q_{1}}=m-p}$. Дробь под интегралом должна получиться правильной, поэтому степень ${\displaystyle P_{2}}$ можно взять за ${\displaystyle p-1}$. Если первоначальная дробь была правильной, то и ${\displaystyle {\frac {P_{1}}{Q_{1}}}}$ правильная и можно взять степень ${\displaystyle P_{1}}$ как ${\displaystyle m-p-1}$. Если же она неправильная, то выделить целую часть и свести дробь к правильной (или же взять степень такую, чтобы степени целых частей слева и справа совпали).

Теперь мы можем найти коэффициенты этих многочленов методом неопределённых коэффициентов. Продифференцируем это равенство.

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}'(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1}'(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}}$

Умножим обе части на ${\displaystyle Q(x)}$.

${\displaystyle P(x)={\frac {P_{1}'(x)Q(x)}{Q_{1}(x)}}-{\frac {P_{1}(x)Q_{1}'(x)Q(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)Q(x)}{Q_{2}(x)}}=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)}$

В обеих частях равенства стоят многочлены. ${\displaystyle P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)}}}$ здесь тоже многочлен, так как ${\displaystyle Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}$ делится на ${\displaystyle Q_{1}(x)}$. Приравниваем коэффициенты при равных степенях и получаем систему линейных алгебраических уравнений. Решая её, получаем в итоге коэффициенты многочленов ${\displaystyle P_{1}(x)}$ и ${\displaystyle P_{2}(x)}$.

В итоге мы представили первоначальный интеграл в виде ${\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx}$. Задача свелась к интегрированию дроби без кратных неприводимых множителей в знаменателе.

Формула ${\displaystyle P(x)=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)}$ позволяет более точно подобрать степени для многочленов ${\displaystyle P_{1}(x)}$ и ${\displaystyle P_{2}(x)}$. Если приравнять степени всех слагаемых, то получим ${\displaystyle s=n-p+1}$ и ${\displaystyle r=n+p-m}$.

Метод Остроградского позволяет сразу же получить алгебраическую часть интеграла рациональной функции. Более того, для этого даже не нужно вычислять разложение ${\displaystyle Q(x)}$ на неприводимые. Действительно, ${\displaystyle Q_{1}(x)={\text{НОД}}(Q,Q')}$, ${\displaystyle Q_{2}(x)={\frac {Q}{{\text{НОД}}(Q,Q')}}}$. НОД многочленов же можно вычислить при помощи алгоритма Евклида. Таким образом, алгебраическая часть интеграла от рациональной функции может быть найдена при помощи метода Остроградского с использованием только лишь алгебраических операций.

Доказательство

Доказательство того, что для любой рациональной дроби можно записать формулу Остроградского, получается сразу же из общего вида интеграла.

Запишем общий вид интеграла от рациональной функции.

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}}\,dx={\frac {T(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\sum _{i=1}^{l}{A_{i}\ln {|x-x_{i}|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({B_{i}\ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i}\operatorname {arctg} {\frac {x+r_{i}}{h}}}\right)}$

${\displaystyle x+r_{i}}$ здесь линейный двучлен, получаемый выделением полного квадрата из ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}}$, т. е. ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2}}$. Занесём логарифмы и арктангенсы под интеграл.

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}}\,dx={\frac {T(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\int \left(\sum _{i=1}^{l}{\frac {A_{i}}{x-x_{i}}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {B_{i}(2x+p_{i})+C_{i}h}{x^{2}+p_{i}x+q_{i}}}\right)\right)\,dx}$

Полученная формула и есть формула Остроградского. Дробь под интегралом правильная, поскольку является суммой правильных дробей.

Примечания

1. М. В. Остроградский. Избранные труды / Под ред. В. И. Смирнова. — Л.: Издательство Академии наук СССР, 1958. — С. 471. — (Классики науки). — 3000 экз.
2. M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles : [арх. 18 февраля 2017]. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.