Менье начал свой творческий путь как живописец, однако с 1866 года работал почти исключительно над скульптурой.
Учился у брата — Ж. Б. Менье, а с 14 лет в Академии изящных искусств в Брюсселе у Ф. Ж. Навеза. С 1848 года учился у скульптора Луи Жеотте (англ.), в 1852 году брал частные уроки у скульптора Шарля-Аугуста Фрайкена (фр.). Родился и вырос в бедной семье выходцев из бельгийского угледобывающего региона Боринаж (фр.), а потому с детства был знаком с тяжёлым социальным положением и зачастую нищенским существованием горняков и их семей. Свои впечатления о жизни горняцкого края Менье запечатлел в пластических формах, демонстрирующих человека труда гармонически развитой личностью. Скульптор разработал такой образ труженика, в котором отражаются его гордость и сила, и который не стыдится своей профессии грузчика или докера. Признавая некоторую идеализацию, с которой Менье создавал своих героев, нужно признать также его огромную историческую заслугу в том, что он одним из первых мастеров сделал центральной темой своего творчества человека, занимающегося физическим трудом, показав его при этом творцом, исполненным внутреннего достоинства.
В 1893 года Менье сотрудничал с Пьером Шарлем Ван-дер-Стаппеном, работая над украшением Ботанического сада Брюсселя (фр.). С 1894 по 1898 годы под их руководством было выполнено 52 скульптуры (животные и растения, времена года, фонари и фонтаны).
Значительное собрание работ Константина Менье находится в музее его имени (фр.), расположенном в брюссельском Икселе.
