Математические основы квантовой механики

Квантовая механика
Введение^[англ.] История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Локальная^[англ.] Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения Глоссарий^[англ.] ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений, позволяющий вычислять численные значения наблюдаемых в квантовой механике величин. Были созданы Луи де-Бройлем^[1] (открытие волн материи), В. Гейзенбергом^[2] (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером^[3] (уравнение Шрёдингера), Н. Бором^[4] (формулировка принципа дополнительности). Завершил создание математических основ квантовой механики и придал им современную форму П. А. М. Дирак^[5][6]. Отличительным признаком математических уравнений квантовой механики является наличие в них символа постоянной Планка.

Наблюдаемые величины и векторы состояний

В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния.

Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний)^[7]. Каждой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор или матрица. Например, радиусу-вектору частицы ${\displaystyle x}$ соответствует оператор умножения ${\displaystyle x}$, импульсу частицы соответствует оператор ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla }$, моменту импульса соответствует оператор

${\displaystyle \hbar {\hat {L}}={\hat {x}}\times {\hat {p}}=-i\hbar \times \nabla .}$

Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).^[7]

Волновые функции удовлетворяют квантовому принципу суперпозиции: если два возможных состояния изображаются волновыми функциями ${\displaystyle \psi _{1}}$ и ${\displaystyle \psi _{2}}$, то существует и третье состояние, изображаемое волновой функцией

${\displaystyle \psi =c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2},}$

где ${\displaystyle c_{1}}$ и ${\displaystyle c_{2}}$ -произвольные амплитуды^[8].

Результатом точного измерения физической величины ${\displaystyle A}$ могут быть только собственные значения этого оператора ${\displaystyle {\widehat {A}}}$.^[7]

Математическое ожидание ${\displaystyle {\overline {A}}}$ значений величины ${\displaystyle A}$ в состоянии ${\displaystyle \psi }$ вычисляется как ${\displaystyle {\overline {A}}=(\psi ,{\widehat {A}}\psi )}$. Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении — диагональный матричный элемент).^[7]

Векторы состояний ${\displaystyle \psi _{1}}$ и ${\displaystyle \psi _{2}}$ описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \psi _{2}=c\psi _{1},}$ где ${\displaystyle c}$ — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор^[9]. Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины ${\displaystyle A}$ в состоянии ${\displaystyle \psi }$ задаются мерой^[10]:

${\displaystyle dm_{{\widehat {A}},\psi }(a)=d(E_{a}\psi ,\psi ),}$

где ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ — самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \psi }$ — вектор состояния, ${\displaystyle E_{a}}$ — спектральная функция оператора ${\displaystyle {\widehat {A}}}$, круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию

${\displaystyle \psi \rightarrow U\psi ,A\rightarrow UAU^{-1}.}$

В этом случае любая имеющий смысл физическая величина ${\displaystyle (A\psi ,\psi )}$ не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).

Полный набор совместно наблюдаемых величин

Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов ${\displaystyle A_{i},i=1,...k}$ образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности (${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=0}$ для всех ${\displaystyle i,j=1,...k}$), взаимной независимости (ни один из операторов ${\displaystyle A_{i}}$ не может быть представлен в виде функции от остальных), полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми ${\displaystyle A_{i}}$ и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций ${\displaystyle \psi (a_{1},...a_{k})}$ со скалярным произведением:

${\displaystyle (\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(a_{1},...a_{k}){\overline {\psi _{2}(a_{1},...a_{k})}}d\mu (a_{1},...a_{k}).}$

Операторы ${\displaystyle A_{i}}$ являются операторами умножения на соответствующие переменные:

${\displaystyle A_{i}\psi (a_{1},...a_{k})=a_{i}\psi (a_{1},...a_{k}).}$

Совместное распределение значений наблюдаемых:

${\displaystyle P(a_{1},...a_{k})=\left|\psi (a_{1},...a_{k})\right|^{2}d\mu (a_{1},...a_{k}).}$

Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы

В случае частицы в трёхмерном пространстве ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ наблюдаемыми величинами являются координаты ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}$ и импульсы ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$.

В представлении Шрёдингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции ${\displaystyle \psi (x)}$ со скалярным произведением:

${\displaystyle (\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(x){\overline {\psi _{2}(x)}}dx.}$

Операторы координат представляют собой операторы умножения:

${\displaystyle {\widehat {x_{j}}}\psi (x)=x_{j}\psi (x),j=1,2,3.}$

Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:

${\displaystyle {\widehat {p_{j}}}\psi (x)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi (x),j=1,2,3.}$

Соотношения коммутации

Операторы декартовых координат ${\displaystyle {\widehat {x_{j}}}}$ и операторы импульсов ${\displaystyle {\widehat {p_{j}}}}$ удовлетворяют соотношениям коммутации:

${\displaystyle \left[{\widehat {p_{j}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=-i\hbar \delta _{jk},}$

${\displaystyle \left[{\widehat {p_{j}}},{\widehat {p_{k}}}\right]=0,}$

${\displaystyle \left[{\widehat {x_{j}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=0.}$

Здесь ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка.^[7]

Уравнения Гамильтона

Матричные элементы операторов декартовых координат ${\displaystyle {\widehat {x_{j}}}}$ и операторов импульсов ${\displaystyle {\widehat {p_{j}}}}$ удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {p_{j}}}g)=-(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {x_{j}}}}}g),}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {x_{j}}}g)=(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {p_{j}}}}}g).}$

Здесь ${\displaystyle {\widehat {H}}}$ — оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.^[7]

Уравнение Шрёдингера

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi ,}$

где ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }x}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }y}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }z}^{2}}}\right)}+{{\hat {E}}_{\rm {pot}}}.}$

Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шрёдингера:

${\displaystyle {{\hat {H}}{\psi }}={E{\psi }}.}$

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно^[11]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

Принцип тождественности

В любой паре одинаковых элементарных частиц можно поменять местами элементарные частицы без возникновения физически нового состояния. Математически принцип тождественности означает условие на собственные значения ${\displaystyle \lambda =\pm 1}$ оператора перестановки ${\displaystyle P_{kj}}$: ${\displaystyle P_{kj}\psi =\lambda \psi }$^[12].

Состояния с ${\displaystyle \lambda =-1}$ являются антисимметричными (фермионы с полуцелым спином), c ${\displaystyle \lambda =+1}$ являются симметричными (бозоны с целым спином).

См. также

• Оператор (физика)
• Гейзенберговское представление операторов
• Алгебраическая квантовая теория
• Волновая функция
• Операторы
• Оператор Гамильтона
• Уравнение Шрёдингера
• Представление Шрёдингера
• Представление Гейзенберга
• Уравнение Паули
• Уравнение Дирака
• Вторичное квантование

Примечания

1. L. de Brogile, Ann. d. phys. (10), 3, 22, 1925
2. W. Heisenberg, Z. S. f. Phys. 33, 879, 1925
3. E. Schrodinger, Ann. d. phys. (4), 79, 361, 489, 734 1926
4. N. Bohr, Naturwissensch. 16, 245, 1928
5. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 409 с.
6. Кузнецов Б. Г. Основные идеи квантовой механики. // Очерки развития основных физических идей. — Отв. ред. Григорьян А. Т., Полак Л. С. — М.: АН СССР, 1959. — Тираж 5 000 экз. — С. 390—421
7. Елютин, 1976, с. 25.
8. Блохинцев, 1963, с. 577.
9. Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
10. Крейн C. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972.
11. Хотя это и не обязательно.
12. Блохинцев, 1963, с. 579.

Литература

• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 409 с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969. 424с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
• Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512с.
• Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, М.: Наука 1964.
• Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.
• Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980. 320с.
• Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. Москва, Ижевск: РХД 2003. 188с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория. Москва: УРСС 1999. 214с.
• Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика с задачами. — М.: Наука, 1976. — 336 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Высшая школа, 1963. — 520 с.
• Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. — М.: Мир, 1965. — 220 с.