С 1949 по 1959 год преподавал в УПИ, в 1958—1959 годах заведовал кафедрой высшей математики.
С 1959 по 1970 год преподавал в Уральском государственном университете (УрГУ) на математико-механическом факультете. Являлся заведующим кафедрами теоретической механики (1959—1960), вычислительной математики (1961—1963), прикладной математики (1965—1970) этого факультета. Профессор кафедры теоретической механики УрГУ. Участвовал в школьном преподавании.
Член-корреспондент АН СССР c 26 июня 1964 года — Отделение механики и процессов управления (механика); академик АН СССР c 26 ноября 1968 года — Отделение механики и процессов управления (теория устойчивости и регулирования).
В 1970—1977 годах работал директором Института математики и механики УрО АН СССР. Был главным научным сотрудником ИММ УрО РАН и советником РАН.
С 2004 года Красовский был научным руководителем Уральской компьютерной школы (УКШ), предназначенной для подготовки школьников Свердловской области к участию в олимпиадах по информатике вплоть до международного уровня[6].
Скончался 4 апреля 2012 года. Похоронен на Широкореченском кладбище на аллее Почётных граждан города.
За выдающийся вклад в школьное образование в области информатики в 2013 году в честь учёного была учреждена премия имени Красовского для школьников до 14 лет, набравших наибольшее количество баллов на Всероссийских олимпиадах школьников по информатике[5].
В работах Н. Н. Красовского были сформулированы и доказаны новые критерии устойчивости движений нелинейных систем, установлено существование функции Ляпунова для ряда основных теорем об устойчивости и неустойчивости.
Один из создателей теории оптимального управления. Используя методы функционального анализа, разработал своеобразную теорию оптимального управления, позволяющую формулировать эффективные условия существования оптимальных решений, необходимые и достаточные условия оптимальности. Им развит минимаксный подход к задачам наблюдения при определённых помехах, получен ряд основополагающих результатов по оптимальному управлению стохастическими схемами и разработана теория оптимальной стабилизации управляемых систем. Н. Н. Красовский предложил оригинальную концепцию позиционных дифференциальных игр, метод экстремального прицеливания. Разработанная Н. Н. Красовским формализация дифференциальной игры составила базу для развития теории (существование седловых точек в классах чистых и смешанных стратегий, стабилизация решений и т. д.) и для построения эффективных вычислительных алгоритмов. Вместе с А. И. Субботиным свёл задачу об оптимальном управлении в дифференциальных играх к построению т. н. «стабильного моста».
Автор (совместно с А. Н. Красовским) метода экстремального сдвига на сопутствующие элементы, определяющего эффективный универсальный алгоритм оптимального управления в антагонистических дифференциальных играх.
Англ. перевод: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.
Лекции по теории управления. Свердловск. Части 1 (Программное управление линейными системами, 1967), 2 (Обобщенное программное управление линейными системами, 1968), 3 (Дифференциальные игры, 1970), 4 (Основная игровая задача наведения; Поглощение цели; Экстремальная стратегия, 1972).
Герой Социалистического Труда (06.09.1974) — за выдающиеся заслуги в развитии советской науки, подготовку научных кадров и в связи с пятидесятилетием со дня рождения[7].
Орден «За заслуги перед Отечеством» III степени (1999) — за большой вклад в развитие отечественной науки, подготовку высококвалифицированных кадров и в связи с 275-летием Российской академии наук[8]
Лауреат премии Фонда содействия отечественной науке в номинации «Выдающиеся учёные» (2006)
Семья
Супруга Нина Андреевна Красовская (до замужества Тито́ва, 1926—2010) — инженер-механик.
Сын Николай Николаевич Красовский (1949—2020) — врач-гинеколог.
Сын Андрей (род. 1953) — учёный-механик, доктор физико-математических наук, профессор.
Внучка Анна Николаевна Котельникова (до замужества Красо́вская, род. 1972) — кандидат физико-математических наук (2005, научный руководитель — профессор А. Ф. Клейменов).
Внучка Татьяна Николаевна Тарасевич (до замужества Красо́вская, род. 1977) — кандидат медицинских наук (2006, научные руководители — академик РАН В. А. Черешнев, профессор Х. Т. Абдулкеримов).
