В математике Константа Ландау — Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринивасой Рамануджаном.
Если N ( x ) {\displaystyle N(x)} - число целых на отрезке [ 1 , x ] {\displaystyle [1,\;x]} , которые являются суммой двух квадратов целых чисел, то
где C {\displaystyle C} — константа пропорциональности Ландау — Рамануджана:
Из теоремы Ландау — Рамануджана следует, что при растущем x {\displaystyle x} средняя ошибка приближения целого числа из интервала от 1 до x {\displaystyle x} суммой двух квадратов целых чисел не менее ln ( x ) 2 C ( 1 + o ( 1 ) ) {\displaystyle {\frac {\sqrt {\ln(x)}}{2C}}(1+o(1))} . Известная сегодня (2013) тривиальная оценка ошибки такого приближения сверху существенно больше — O ( x 1 / 4 ) {\displaystyle O(x^{1/4})} . Со времен Эйлера существует гипотеза[1] о том, что
где ε > 0 , ε {\displaystyle \varepsilon >0,\;\varepsilon } — любое, x ⩾ x 1 ( ε ) {\displaystyle x\geqslant x_{1}(\varepsilon )} .
Данная задача является обобщением проблемы Варинга.
Число a {\displaystyle a} представимо в виде s 2 + t 2 = a {\displaystyle s^{2}+t^{2}=a} ( s {\displaystyle s} и t {\displaystyle t} - целые) тогда и только тогда, когда все простые числа вида 4 k + 3 {\displaystyle 4k+3} входят в каноническое разложение числа с чётной степенью.[2]
Этот результат впервые был получен Ферма, а доказан Эйлером.