Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера[1].
Определение регулярной функции
Рассмотрим оператор
Функция кватернионного переменного называется регулярной, если
Гармонические функции
Пусть , тогда и . Несложно проверить, что оператор имеет вид
и совпадает с оператором Лапласа в . Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в . Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции существует регулярная кватернионная функция такая, что . Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.
Некоторые применения
Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх
Дифференцирование отображений
Пусть — функция, определённая на теле кватернионов.
Мы можем определить понятие левой производной в точке
как такое число, что
где — бесконечно малая от , то есть
- .
Множество функций, которые имеют левую производную, ограничено.
Например, такие функции, как
не имеют левой производной.
Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.
Нетрудно убедиться, что выражения
- и
являются линейными функциями кватерниона .
Это наблюдение является основанием
для следующего определения[2].
Непрерывное отображение
называется дифференцируемым
на множестве ,
если в каждой точке
изменение отображения может быть представлено в виде
где
линейное отображение алгебры кватернионов и
такое непрерывное отображение, что
Линейное отображение
называется производной отображения .
Производная может быть представлена в
виде[3]
Соответственно дифференциал отображения имеет вид
Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых
зависит от выбора функции . Выражения
называются компонентами производной.
Производная удовлетворяет равенствам
Если , то производная имеет вид
Если , то производная имеет вид
и компоненты производной имеют вид
Если , то производная имеет вид
и компоненты производной имеют вид
Примечания
- ↑
Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. — №1. — Birkhäuser Basel, 1936. — P. 371—378.
- ↑ Aleks Kleyn, eprint arXiv:1601.03259 Архивная копия от 25 января 2018 на Wayback Machine
Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016
- ↑ Выражение
не является дробью и должно восприниматься как единый символ.
Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной.
Значение выражения при заданном
является кватернионом.
Литература
- D. B. Sweetser, Doing Physics with Quaternions Архивная копия от 7 января 2009 на Wayback Machine (англ.)
- A. Sudbery, Quaternionic Analysis, Department of Mathematics, University of York, 1977.
- В. И. Арнольд, Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов, УМН, 1995, 50:1(301), 3-68
См. также