Категория множеств

Катего́рия мно́жеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не существует, а работать с понятием класса не очень удобно; для этой проблемы было предложено несколько различных решений.^[1][2][3]

Свойства категории множеств

• Все эпиморфизмы в Set сюръективны, все мономорфизмы — инъективны, и все изоморфизмы — биекции.
• Пустое множество — начальный объект категории множеств, любой синглетон — терминальный объект.
• Категория Set — полная и кополная категория. Например, в ней существуют произведения (декартовы произведения множеств) и копроизведения (дизъюнктные объединения множеств).
• Set — прототип понятия конкретной категории, категория конкретна, если она «похожа на» Set некотором строго определенным образом.
• Любое двухэлементное подмножество задает классификатор подобъектов в Set, степенной объект множества A является его булеаном, а экспоненциал множеств A и B — множество функций из A в B. Следовательно Set является топосом, в частности, декартово замкнутой категорией.
• Set не является абелевой, аддитивной или предаддитивной. Её нулевые морфизмы — это пустые функции ∅ → X^[4].
• Каждый не начальный объект Set инъективен и (предполагая истинной аксиому выбора) проективен.

Примечания

1. Mac Lane, 1969.
2. Feferman, 1969.
3. Blass, 1984.
4. Pareigis, 1970, Section I.7.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Blass, A. The interaction between category theory and set theory // Contemporary Mathematics. — 1984. — № 30.
• Feferman, S. Set-theoretical foundations of category theory. — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 201—247. — (Lecture Notes in Mathematics).
• Lawvere, F. W. An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary // Reprints in Theory and Applications of Categories. — 2005. — № 11. — С. 1—35.
• Mac Lane, S. Foundations for categories and sets. — Springer, 1969. — Vol. 92. — P. 146—164. — (Lecture Notes in Mathematics).
• Mac Lane, S. One universe as a foundation for category theory. — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 192—200. — (Lecture Notes in Mathematics).
• Pareigis, Bodo. Categories and functors. — Academic Press, 1970. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-545150-5.