Калибровка векторного потенциала

Калибро́вка ве́кторного потенциа́ла — наложение дополнительных условий, позволяющих однозначно вычислить векторный потенциал электромагнитного поля (${\displaystyle \mathbf {A} }$) при решении тех или иных физических задач. Налагаемые условия являются искусственными и служат для упрощения математических выкладок. Наиболее широкое распространение получили калибровка Кулона и калибровка Лоренца, но существуют и применяются и другие калибровки.

Возможность и смысл калибровки

При введении векторного (${\displaystyle \mathbf {A} }$) и скалярного (${\displaystyle \varphi }$) потенциалов электромагнитного поля возникает неоднозначность, не создающая никаких проблем фундаментального плана, но требующая разрешения для проведения расчётов в конкретных задачах. А именно, преобразования

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }$,

${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$,

где ${\displaystyle \psi =\psi ({\vec {r}},t)}$ — произвольная скалярная функция координат (${\displaystyle {\vec {r}}}$) и времени (${\displaystyle t}$), не изменяют вида уравнений Максвелла, а значит, допустимы с физической точки зрения. Необходимо остановиться на каком-то выборе данной функции, причём он может быть сделан из соображений математического удобства. На практике осуществляется не фиксация функции ${\displaystyle \psi }$ (при предварительно введённых потенциалах), а наложение некоторого дополнительного условия на сами потенциалы.

Примеры калибровок

Кулоновская калибровка

Кулоновская калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля (A) с дополнительным условием

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} =0}$

Эта калибровка применяется для рассмотрения нерелятивистских магнитостатических задач.

Калибровка Лоренца

Калибровка Лоренца^[1] — выбор векторного потенциала электромагнитного поля с условием (в СГС)

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} +{1 \over c}{\partial \mathbf {\varphi } \over \partial t}=0}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — электростатический потенциал.

Эта калибровка применяется для рассмотрения динамических задач. Калибровка Лоренца сохраняется при преобразованиях Лоренца и в ковариантной форме может быть записана как

${\displaystyle {\partial A_{\mu } \over \partial x_{\mu }}=0}$

Калибровка Ландау

Калибровка Ландау — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})=Bx{\vec {e}}_{y}}$, где ${\displaystyle B}$ — магнитное поле, а ${\displaystyle {\vec {e}}_{y}}$ — единичный орт по направлению оси y.

Используется для удобства при решении уравнения Шрёдингера в магнитном поле, поскольку позволяет разделить переменные в декартовой системе координат и получить так называемые уровни Ландау.

Симметричная калибровка

Симметричная калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {1}{2}}{\vec {B}}\times {\vec {r}}}$, где ${\displaystyle {\vec {B}}}$ — вектор магнитного поля, а ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор.

Калибровка Лондонов

Калибровка Лондонов — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условия

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {A}}=0}$

${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {n}}=0}$, где ${\displaystyle {\vec {n}}}$—вектор нормали к поверхности сверхпроводника.

В этой калибровке упрощается запись уравнения Лондонов для линейной электродинамики сверхпроводников.

Калибровка Вейля

Калибровка Вейля — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

${\displaystyle \varphi =0}$

Другие названия — калибровка Гамильтона

${\displaystyle A_{4}=0}$

Калибровка Пуанкаре

Калибровка Пуанкаре (мультиполярная калибровка) — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0}$

Калибровка Фока — Швингера

Калибровка Фока — Швингера — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +t\cdot \varphi =0}$,

или

${\displaystyle x^{\mu }A_{\mu }=0}$

Калибровка Дирака

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}}$

См. также

• Калибровочная инвариантность
• Калибровочные преобразования

Примечания

1. Впервые предложена Людвигом В. Лоренцем.