Задача Ламберта

Задача Ламберта — в небесной механике краевая задача для дифференциального уравнения

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-\mu \cdot {\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}},\quad r=\left|\mathbf {r} \right|\ }$,

для которого в общем случае решения являются кеплеровскими орбитами. В более точной формулировке:

Для двух различных моментов времени ${\displaystyle \ t_{1},\,t_{2}\ }$ и двух заданных векторов ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\mathbf {r} _{2}}$ найти решение ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$, удовлетворяющее указанному дифференциальному уравнению и краевым условиям

${\displaystyle \mathbf {r} (t_{1})=\mathbf {r} _{1},\quad \mathbf {r} (t_{2})=\mathbf {r} _{2}.}$

Изучалась Иоганном Генрихом Ламбертом.

Исходный геометрический анализ

Фигура 1: ${\displaystyle F_{1}}$ — притягивающий центр, ${\displaystyle P_{1}}$ — точка, соответствующая вектору ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$, и ${\displaystyle P_{2}}$ — точка, соответствующая вектору ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$

Фигура 2: Гипербола с точками ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ в качестве фокусов, проходящая через ${\displaystyle F_{1}}$

Фигура 3: Эллипс с точками ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ в качестве фокусов, проходящий через ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$

Три точки

• ${\displaystyle F_{1}}$, центр притяжения,
• ${\displaystyle P_{1}}$, точка, соответствующая вектору ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$,
• ${\displaystyle P_{2}}$, точка, соответствующая вектору ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$,

образуют треугольник в плоскости, определённый векторами ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$, как показано на фигуре 1. Пусть расстояние между точками ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ равно ${\displaystyle 2d}$, расстояние между точками ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle F_{1}}$ составляет ${\displaystyle r_{1}=r_{m}-A}$ и расстояние между точками ${\displaystyle P_{2}}$ и ${\displaystyle F_{1}}$ составляет ${\displaystyle r_{2}=r_{m}+A}$. Значение ${\displaystyle A}$ положительно или отрицательно в зависимости от того, какая из точек ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ расположена дальше от точки ${\displaystyle F_{1}}$. Геометрическая задача состоит в том, чтобы найти все эллипсы, которые проходят через точки ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ и имеют фокус в точке ${\displaystyle F_{1}}$.

Точки ${\displaystyle F_{1}}$, ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ определяют гиперболу, проходящую через точку ${\displaystyle F_{1}}$ и имеющую точки ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ в качестве фокусов. Точка ${\displaystyle F_{1}}$ располагается либо на левой, либо на правой ветви гиперболы в зависимости от знака ${\displaystyle A}$. Большая полуось этой гиперболы равна ${\displaystyle |A|}$, её эксцентриситет ${\displaystyle E}$ равен ${\textstyle {\frac {d}{|A|}}}$. Эта гипербола изображена на фигуре 2.

В обычной системе координат, заданной большой и малой осями гиперболы, её уравнение принимает вид

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}-{\frac {y^{2}}{B^{2}}}=1}$$

(1)

,

где

$${\displaystyle B=|A|{\sqrt {E^{2}-1}}={\sqrt {d^{2}-A^{2}}}}$$

(2)

Для любой точки на той же ветви гиперболы , что и ${\displaystyle F_{1}}$ разность между расстояниями ${\displaystyle r_{2}}$ до точки ${\displaystyle P_{2}}$ и ${\displaystyle r_{1}}$ до точки ${\displaystyle P_{1}}$ составляет

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2A}$$

(3)

Для любой точки ${\displaystyle F_{2}}$ другой ветви гиперболы, соответствующее выражение имеет вид

$${\displaystyle s_{1}-s_{2}=2A}$$

(4)

,

т.е.

$${\displaystyle r_{1}+s_{1}=r_{2}+s_{2}}$$

(5)

Но это означает, что обе точки ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ располагаются на эллипсе, имеющим фокусы в точках ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$, большая полуось которого равна

$${\displaystyle a={\frac {r_{1}+s_{1}}{2}}={\frac {r_{2}+s_{2}}{2}}}$$

(6)

Эллипс, отвечающий произвольно выбранной точке ${\displaystyle F_{2}}$, изображен на фигуре 3.

Примечания

Ссылки

• А.А.Суханов Астродинамика
• Lambert's theorem through an affine lens. Paper by Alain Albouy containing a modern discussion of Lambert's problem and a historical timeline. arXiv:1711.03049
• Revisiting Lambert's Problem. Paper by Dario Izzo containing an algorithm for providing an accurate guess for the householder iterative method that is as accurate as Gooding's Procedure while computationally more efficient. doi:10.1007/s10569-014-9587-y
• Lambert's Theorem - A Complete Series Solution. Paper by James D. Thorne with a direct algebraic solution based on hypergeometric series reversion of all hyperbolic and elliptic cases of the Lambert Problem.
• Thorne, James. "Series reversion/inversion of Lambert's time function". Astrodynamics Conference. Reston, Virigina: American Institute of Aeronautics and Astronautics. doi:10.2514/6.1990-2886.