Краевая задача

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Линейные уравнения n-го порядка

Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид

${\displaystyle L(y)=f(x),\quad U_{\mu }(y)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,m,}$

где

${\displaystyle L(y)=\sum _{\nu =0}^{n}f_{\nu }(x)y^{(\nu )},}$

функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f_{\nu }(x)}$ непрерывны на отрезке ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, ${\displaystyle f_{n}(x)\neq 0}$, краевые условия заданы линейными формами

${\displaystyle U_{\mu }(y)=\sum _{k=0}^{n-1}\left[\alpha _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(a)+\beta _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(b)\right],\quad \mu =1,2,\dots ,m,}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ — заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов ${\displaystyle \alpha _{\mu },\beta _{\mu }}$ имеет ранг ${\displaystyle m}$, при этом краевые условия линейно независимы. Если ${\displaystyle \gamma _{\mu }=0}$ и ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$, краевая задача называется однородной, если только ${\displaystyle \gamma _{\mu }=0}$ — полуоднородной.^[1]

Задача на собственные значения

Собственными значениями называются те значения параметра ${\displaystyle \lambda }$, при которых однородная краевая задача

${\displaystyle L(y)+\lambda g(x)y=0,\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu =1,2,\dots ,m,}$

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

Если ${\displaystyle \varphi _{1}(x,\lambda ),\varphi _{2}(x,\lambda ),\dots ,\varphi _{n}(x,\lambda )}$ — фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что

${\displaystyle \varphi _{p}^{(q)}(a,\lambda )=\left\{{\begin{array}{l}1,\quad q=p-1,\\0,\quad q\neq p-1.\end{array}}\right.\quad p=1,2,\dots ,n,\quad q=0,\dots ,n-1,}$

то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)

${\displaystyle \Delta (\lambda )=\det[U_{\mu }(\varphi _{\nu })]}$. Если ${\displaystyle \Delta (\lambda )\not \equiv 0}$, то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.^[2]

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:

• Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
• Задача о разложении по собственным функциям. Если ${\displaystyle u_{\nu }(x)}$ — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция ${\displaystyle F(x)}$ может быть разложена в сходящийся ряд

${\displaystyle F(x)=\sum c_{\nu }u_{\nu }(x)}$

по функциям ${\displaystyle u_{\nu }(x)}$?^[3][4]

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}}$

Функция Грина

Основная статья: Функция Грина

Теорема 1. Если однородная краевая задача ${\displaystyle L(y)=0,\,U_{\mu }(y)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n}$ имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции ${\displaystyle f(x)}$, непрерывной на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, существует решение полуоднородной краевой задачи ${\displaystyle L(y)=f,\,U_{\mu }(y)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n}$, задаваемое формулой ${\displaystyle y(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi ,}$ где ${\displaystyle G(x,\xi )}$ — функция Грина однородной краевой задачи.[5]

С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из ${\displaystyle n}$ раз непрерывно дифференцируемых на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций ${\displaystyle y}$, удовлетворяющих краевым условиям ${\displaystyle U_{\mu }(y)=0}$, и действующий по правилу ${\displaystyle L(y)}$. При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром ${\displaystyle G(x,\xi )}$.

Функция Грина ${\displaystyle G(x,\xi )}$ однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. ${\displaystyle G(x,\xi )}$ непрерывна и имеет непрерывные производные по ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle (n-2)}$-го порядка включительно для всех значений ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \xi }$ из интервала ${\displaystyle [a,b]}$.
2. При любом фиксированном ${\displaystyle \xi }$ из отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ функция ${\displaystyle G(x,\xi )}$ имеет непрерывные производные ${\displaystyle (n-1)}$-го и ${\displaystyle n}$-го порядка по ${\displaystyle x}$ в каждом из интервалов ${\displaystyle [a,\xi )}$ и ${\displaystyle (\xi ,b]}$, причем производная ${\displaystyle (n-1)}$-го порядка имеет при ${\displaystyle x=\xi }$ скачок ${\displaystyle {\frac {1}{f_{n}(x)}}}$.
3. В каждом из интервалов ${\displaystyle [a,\xi )}$ и ${\displaystyle (\xi ,b]}$ функция ${\displaystyle G(x,\xi )}$, рассматриваемая как функция от ${\displaystyle x}$, удовлетворяет уравнению ${\displaystyle L(G)=0}$ и краевым условиям ${\displaystyle U_{\mu }(G)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n}$.

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.[6]

С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу

${\displaystyle L(y)=f(x),\quad U_{\mu }(y)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,n.}$

Решение имеет вид

${\displaystyle y=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi +\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}\psi _{k}(x),}$

где ${\displaystyle \psi _{k}(x)}$ — решения краевых задач

${\displaystyle L(y)=0,\quad U_{k}(y)=1,\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu \neq k,\quad \mu =1,2,\dots ,n.}$^[7]

Краевая задача с параметром

${\displaystyle L(y)=\lambda y+f(x),\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu =1,2,\dots ,n,}$

эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

${\displaystyle y(x)=\lambda \int _{a}^{b}G(x,\xi )y(\xi )d\xi +g(x),}$

где

${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi .}$

Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра ${\displaystyle G(x,\xi )}$.^[8]

Системы линейных дифференциальных уравнений

Краевая задача состоит в отыскании системы функций ${\displaystyle u_{1}(x),u_{2}(x),\dots ,u_{n}(x)}$, удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений

${\displaystyle u'_{\mu }=\sum _{\nu =1}^{m}f_{\mu ,\nu }(x)u_{\nu }+f_{\mu }(x),\quad \mu =1,2,\dots ,m,}$

и краевым условиям

${\displaystyle U_{\mu }(u)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,n,}$

где ${\displaystyle f_{\mu },f_{\mu ,\nu }}$ — функции, непрерывные на отрезке ${\displaystyle a\leq x\leq b}$,

${\displaystyle U_{\mu }(u)=\sum _{k=1}^{n}\left[\alpha _{\mu ,k}u_{k}(a)+\beta _{\mu ,k}u_{k}(b)\right],}$

матрица

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1,1}&\dots &\beta _{1,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{n,1}&\dots &\alpha _{n,n}&\beta _{n,1}&\dots &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)}$

имеет ранг ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ — заданные числа.^[9]

Численные методы решения

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

• Метод стрельбы (пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия. Для подбора параметра можно использовать, например, метод бисекции или метод Ньютона.^[10]
• Метод параллельной стрельбы. Является обобщением метода стрельбы.
• Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация уравнения и краевых условий и решается система линейных алгебраических уравнений.^[11][12]
• Вариационные методы (метод Ритца, метод Галёркина).^[13][14][15]
• Метод интегральных уравнений. Краевая задача при помощи функции Грина заменяется интегральным уравнением, которое решается с помощью квадратурных формул. ^[16]
• Метод суперпозиции. Решение краевой задачи находится как линейная комбинация решений нескольких задач Коши.^[17]
• Метод прогонки (не путать с методом прогонки для решения трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений). Решение краевой задачи

${\displaystyle y''=p(x)y+q(x),\quad y'(a)=\alpha _{0}y(a)+\alpha _{1},\quad y'(b)=\beta _{0}y(b)+\beta _{1}}$

удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\displaystyle y'(x)=\alpha _{0}(x)y(x)+\alpha _{1}(x)\quad (*)}$,

где функции ${\displaystyle \alpha _{0}(x),\alpha _{1}(x)}$ находятся как решения задачи Коши

${\displaystyle \alpha '_{0}(x)+\alpha _{0}^{2}(x)=p(x),\quad \alpha _{0}(a)=\alpha _{0},}$

${\displaystyle \alpha '_{1}(x)+\alpha _{0}(x)\alpha _{1}(x)=q(x),\quad \alpha _{1}(a)=\alpha _{1}.}$

Затем ${\displaystyle y(x)}$ находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию ${\displaystyle y'(b)=\alpha _{0}(b)y(b)+\alpha _{1}(b)}$.^[18][19]

Применение

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.^[1] Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.^[20]

Уравнения в частных производных

Обозначения

Пусть ${\displaystyle G}$ — ограниченная область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с кусочно-гладкой границей ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle n}$ — вектор нормали к границе ${\displaystyle S}$, направленный вовне области ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}}$ — производная по направлению нормали, ${\displaystyle Q_{\infty }=G\times (0,\infty )}$. Функции ${\displaystyle p,q,\alpha ,\beta ,\rho }$ удовлетворяют условиям:

${\displaystyle p\in C^{1}({\bar {G}}),\quad q\in C({\bar {G}}),\quad p(x)>0,\quad q(x)\geq 0,\quad x\in G,}$

${\displaystyle \alpha \in C(S),\quad \beta \in C(S),\quad \alpha (x)\geq 0,\quad \beta (x)\geq 0,\quad \alpha (x)+\beta (x)>0,\quad x\in S,}$

${\displaystyle \rho \in C({\bar {G}}),\quad \rho (x)>0,\quad x\in {\bar {G}}.}$

Здесь ${\displaystyle {\bar {G}}=G\cup S}$ — замыкание области ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ — множество функций, непрерывных в ${\displaystyle {\bar {G}}}$, ${\displaystyle C^{k}({\bar {G}})}$ — множество функций, ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемых в ${\displaystyle {\bar {G}}}$.

Уравнения гиперболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции ${\displaystyle u(x,t)\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\bar {Q}}_{\infty })}$, удовлетворяющей уравнению

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\mbox{div}}\,(p\,{\mbox{grad}}\,u)-qu+F(x,t),\quad (x,t)\in Q_{\infty },}$

начальным условиям

${\displaystyle u_{|t=0}=u_{0}(x),\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}_{|t=0}=u_{1}(x),\quad x\in {\bar {G}},}$

и граничному условию

${\displaystyle \alpha u+\beta {\frac {\partial u}{\partial n}}|_{S}=0.}$

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости

${\displaystyle F\in C(Q_{\infty }),\quad u_{0}\in C^{1}({\bar {G}}),\quad u_{1}\in C({\bar {G}})}$

и условие согласованности

${\displaystyle \alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u_{0}}{\partial n}}=0}$.

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от ${\displaystyle u_{0},u_{1},F}$.^[21]

Уравнения параболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции ${\displaystyle u(x,t)\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\bar {Q}}_{\infty }),\,{\mbox{grad}}_{x}\,u\in C({\bar {Q}}_{\infty })}$, удовлетворяющей уравнению

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}={\mbox{div}}\,(p\,{\mbox{grad}}\,u)-qu+F(x,t),\quad (x,t)\in Q_{\infty },}$

начальному условию

${\displaystyle u_{t=0}=u_{0}(x),\quad x\in {\bar {G}},}$

и граничному условию

${\displaystyle \alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u}{\partial n}}=v(x,t),\quad (x,t)\in S\times [0,\infty ).}$

Для существования решения необходимы следующие условия гладкости

${\displaystyle F\in C(Q_{\infty },\quad u_{0}\in C({\bar {G}}),\quad v\in C(S\times [0,\infty )),}$

и условие согласованности

${\displaystyle \alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u_{0}}{\partial n}}|_{S}=v(x,0).}$

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от ${\displaystyle F,u_{0},v}$.^[22]

Уравнения эллиптического типа

Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа

${\displaystyle \Delta u=0}$.

Пусть область ${\displaystyle G\in \mathbb {R} ^{3}}$ такова, что ${\displaystyle G_{1}=\mathbb {R} ^{3}\backslash G}$.

• Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области ${\displaystyle G}$ функцию ${\displaystyle u\in C({\bar {G}})}$, принимающую на границе ${\displaystyle S}$ заданные (непрерывные) значения ${\displaystyle u_{0}^{-}}$.
• Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области ${\displaystyle G_{1}}$ функцию ${\displaystyle u\in C({\bar {G}}_{1})}$, принимающую на ${\displaystyle S}$ заданные (непрерывные) значения ${\displaystyle u_{0}^{+}}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.
• Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области ${\displaystyle G}$ функцию ${\displaystyle u\in C({\bar {G}})}$, имеющую на ${\displaystyle S}$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную ${\displaystyle u_{1}^{-}}$.
• Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области ${\displaystyle G_{1}}$ функцию ${\displaystyle u\in C({\bar {G}}_{1})}$, имеющую на ${\displaystyle S}$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную ${\displaystyle u_{1}^{+}}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:

${\displaystyle \Delta u=-f}$.

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.^[23]

Методы решения

• Метод разделения переменных^[24][25]
• Метод распространяющихся волн (для уравнений гиперболического типа)^[26]
• Метод функции Грина (для уравнений эллиптического типа)^[27]
• Разностные методы.^[28]
• Вариационные методы.^[29]
• Метод конечных элементов.

См. также

• Задача Коши
• Начальные и граничные условия
• Задача Штурма-Лиувилля
• Функция Грина
• Волновое уравнение
• Гиперболическое уравнение
• Параболическое уравнение
• Эллиптическое уравнение
• Задача Дирихле
• Задача Неймана

Примечания

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 187.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 193.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, Часть вторая, глава I, §2.
4. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, Часть первая, главы I, II.
5. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 40.
6. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 38-39.
7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 190.
8. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 44.
9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 249.
10. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 262.
11. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 268.
12. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, с. 372.
13. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 276.
14. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, с. 391.
15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 222.
16. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 12.
17. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 2.
18. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, глава 9, §9.
19. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 3.
20. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 88.
21. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §6.2.
22. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §6.3.
23. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §5.6.
24. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004.
25. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999.
26. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 70.
27. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §5.7.
28. Самарский А. А. Численные методы, 1989, часть III.
29. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, глава 10, §9.

Литература

Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем.. — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576 с.
• Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

Уравнения в частных производных

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.

Численные методы

• На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982. — 286 с.
• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том II. — М.: Гос. изд-во физ.-мат.лит., 1959.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
• Гулин А. В.,Самарский А. А. Численные методы:учебное пособие для вузов. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 432 с. — ISBN 5-02-013996-3.