Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Доверительный интервал для математического ожидания — интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности.

Случай известной дисперсии

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ — независимая выборка из нормального распределения, где ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ — известная дисперсия. Определим произвольное ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ и построим доверительный интервал для неизвестного среднего ${\displaystyle \mu }$.

Утверждение. Случайная величина

${\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

имеет стандартное нормальное распределение ${\displaystyle \mathrm {N} (0,1)}$. Пусть ${\displaystyle z_{\alpha }}$ — это ${\displaystyle \alpha }$-квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha }$.

После подстановки выражения для ${\displaystyle Z}$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha }$.

Случай неизвестной дисперсии

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ — независимая выборка из нормального распределения, где ${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2}}$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего ${\displaystyle \mu }$.

Утверждение. Случайная величина

${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$,

где ${\displaystyle S}$ — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с ${\displaystyle n-1}$ степенями свободы ${\displaystyle \mathrm {t} (n-1)}$. Пусть ${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$ — ${\displaystyle \alpha }$-квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(-t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}\leq T\leq t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}\right)=1-\alpha }$.

После подстановки выражения для ${\displaystyle T}$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\bar {X}}-t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha }$.