Дифференциальное уравнение Бернулли

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1}$

называется уравнением Бернулли (при ${\displaystyle n=0}$ или ${\displaystyle n=1}$ получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При ${\displaystyle n=2}$ является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.^[1]

Метод решения

Первый способ

Разделим все члены уравнения на ${\displaystyle y^{n},}$ получим

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).}$

Делая замену ${\displaystyle z=y^{1-n}}$ и дифференцируя, получаем:

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.}$

Это уравнение приводится к линейному:

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)}$

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим ${\displaystyle y=uv,}$ тогда:

${\displaystyle {\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.}$

Подберем ${\displaystyle v(x)\not \equiv 0}$ так, чтобы было

${\displaystyle {\dot {v}}+a(x)v=0,}$

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения ${\displaystyle u}$ получаем уравнение ${\displaystyle {\frac {\dot {u}}{u^{n}}}=b(x)v^{n-1}}$ — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Решить уравнение ${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$.

Решение. Разделим на ${\displaystyle y^{2},}$ получаем:

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}.}$

Замена переменных ${\displaystyle w={\frac {1}{y}}}$ даёт:

${\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}},}$

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.}$

${\displaystyle M(x)=e^{-2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{-2}.}$

Делим на ${\displaystyle M(x)}$,

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},}$

${\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}$

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.}$

Результат:

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.}$

Литература

• А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
• В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

Примечания

1. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.