Дифференциал (дифференциальная геометрия)

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Обозначения

Обычно дифференциал ${\displaystyle f}$ обозначается ${\displaystyle df}$. Некоторые авторы предпочитают обозначать ${\displaystyle \operatorname {d} f}$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке ${\displaystyle x}$ обозначается ${\displaystyle d_{x}f}$, а иногда ${\displaystyle df_{x}}$ или ${\displaystyle df[x]}$. (${\displaystyle d_{x}f}$ есть линейная функция на касательном пространстве в точке ${\displaystyle x}$.)

Если ${\displaystyle v}$ есть касательный вектор в точке ${\displaystyle x}$, то значение дифференциала на ${\displaystyle v}$ обычно обозначается ${\displaystyle df(v)}$, в этом обозначении ${\displaystyle x}$ излишне, но обозначения ${\displaystyle d_{x}f(v)}$, ${\displaystyle df_{x}(v)}$ и ${\displaystyle df[x](v)}$ также правомерны.

Используется так же обозначение ${\displaystyle f_{*}}$; последнее связано с тем, что дифференциал ${\displaystyle f\colon M\to N}$ является естественным поднятием ${\displaystyle f}$ на касательные расслоения к многообразиям ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$.

Определения

Для вещественнозначных функций

Пусть ${\displaystyle M}$ — гладкое многообразие и ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ гладкая функция. Дифференциал ${\displaystyle f}$ представляет собой 1-форму на ${\displaystyle M}$, обычно обозначается ${\displaystyle df}$ и определяется соотношением

${\displaystyle df(X)=d_{p}f(X)=Xf,}$

где ${\displaystyle Xf}$ обозначает производную ${\displaystyle f}$ по направлению касательного вектора ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle p\in M}$.

Для отображений гладких многообразий

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие ${\displaystyle F\colon M\to N}$ есть отображение между их касательными расслоениями, ${\displaystyle dF\colon TM\to TN}$, такое что для любой гладкой функции ${\displaystyle g\colon N\to \mathbb {R} }$ имеем

${\displaystyle [dF(X)]g=X(g\circ F),}$

где ${\displaystyle Xf}$ обозначает производную ${\displaystyle f}$ по направлению ${\displaystyle X}$. (В левой части равенства берётся производная в ${\displaystyle N}$ функции ${\displaystyle g}$ по ${\displaystyle dF(X)}$; в правой — в ${\displaystyle M}$ функции ${\displaystyle g\circ F}$ по ${\displaystyle X}$).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определения

• Точка ${\displaystyle x}$ многообразия ${\displaystyle M}$ называется критической точкой отображения ${\displaystyle f:M\to N}$, если дифференциал ${\displaystyle d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N}$ не является сюръективным (см. также теорема Сарда)
  • Например, критические точки функций ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — в точности стационарные точки. Для функций ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ это точки, в которых матрица дифференциала вырождается.
  • В этом случае ${\displaystyle f(x)}$ называется критическим значением ${\displaystyle f}$.
  • Точка ${\displaystyle y\in N}$ называется регулярной, если она не является критической.
• Гладкое отображение ${\displaystyle F\colon M\to N}$ называется субмерсией, если для любой точки ${\displaystyle x\in M}$, дифференциал ${\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}$ сюръективен.
• Гладкое отображение ${\displaystyle F\colon M\to N}$ называется гладким погружением, если для любой точки ${\displaystyle x\in M}$, дифференциал ${\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}$ инъективен.

Свойства

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  ${\displaystyle d(F\circ G)=dF\circ dG}$ или ${\displaystyle d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G}$

Примеры

• Пусть в открытом множестве ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} }$ задана гладкая функция ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$. Тогда ${\displaystyle df=f'\,dx}$, где ${\displaystyle f'}$ обозначает производную ${\displaystyle f}$, а ${\displaystyle dx}$ является постоянной формой, определяемой ${\displaystyle dx(V)=V}$.
• Пусть в открытом множестве ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ задана гладкая функция ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$. Тогда ${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}}$. Форма ${\displaystyle dx_{i}}$ может быть определена соотношением ${\displaystyle dx_{i}(V)=v_{i}}$, для вектора ${\displaystyle V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})}$.
• Пусть в открытом множестве ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ задано гладкое отображение ${\displaystyle F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$. Тогда

  ${\displaystyle d_{x}F(v)=J(x)v,}$

где ${\displaystyle J(x)}$ есть матрица Якоби отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$.

См. также

• Кодифференциал