Дигамма-функция

Дигамма-функция ${\displaystyle \psi (x)}$

В математике дига́мма-фу́нкция ${\displaystyle {\textstyle {\psi (x)}}}$ определяется как логарифмическая производная гамма-функции:

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$

Она является полигамма-функцией первого порядка, а полигамма-функции высших порядков (тригамма-функция и т.д.) получаются из неё дифференцированием.

Свойства

• Дигамма-функция связана с гармоническими числами соотношением

  ${\displaystyle \displaystyle {\psi (n)=H_{n-1}-\gamma },}$

где ${\displaystyle {\textstyle {H_{n}}}}$ — ${\displaystyle n}$-е гармоническое число, а ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

• Формула дополнения

  ${\displaystyle \displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \operatorname {ctg} (\pi x)}}$

• Рекуррентное соотношение

  ${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}$

• Разложение в бесконечную сумму

  ${\displaystyle \psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}}$

где ${\displaystyle \zeta (x)}$ — дзета-функция Римана.

• Логарифмическое разложение

  ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)}$

• Теорема Гаусса

  ${\displaystyle {\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)}}=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2}}\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{q}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{q}}\right)}$

при целых ${\displaystyle p,q}$ с условием ${\displaystyle 0<p<q}$.

• Для всех ${\displaystyle z\neq -1,-2,-3,\ldots }$ справедливо разложения в ряд:

  ${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)}}.}$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Digamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Свойства дигамма-функции (англ.)