Старший сын Джеймса Гамильтона (1703—1743), 5-го герцога Гамильтона и 2-го герцога Брендона (1712—1743), от третьего брака с Анной Спенсер (1720—1771), дочери Эдварда Спенсера.
В августе 1799 года после смерти своего племянника Дугласа Гамильтона (1756—1799), 8-го герцога Гамильтона, не оставившего законных детей, Арчибальд Гамильтон унаследовал титулы герцогов Гамильтона и Брендона (1799—1819), а также должность лорда-лейтенанта Ланаркшира (1799—1802).
25 мая 1765 года женился на Гарриет Стюарт (1750—1788), дочери Александра Стюарта, 6-го графа Галлоуэя, и Кэтрин Кокрейн, дочери Джона Кокрейна, 6-го графа Дандональда. Их дети:
леди Анна Гамильтон (1766—1846), фрейлина английской королевы Каролины, незамужняя