Вполне несвязное пространство

В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство (наследственно несвязное, дисперсное) — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Важным примером вполне несвязного пространства является множество Кантора. Другим примером, играющим ключевую роль в алгебраической теории чисел, является поле p-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

Определение

Топологическое пространство X называется вполне несвязным, если связными компонентами X являются только одноточечные множества.

Примеры

• Дискретное пространство
• Множество рациональных чисел
• Множество иррациональных чисел
• Множество p-адических чисел.
  • Более общо, вполне несвязными являются проконечные группы
• Множество Кантора
• Пространство Бэра (Теория множеств)^[англ.]
• Прямая Зоргенфрея
• Нульмерное хаусдорфово пространство
• Нульмерное T₁-пространство
• Экстремально несвязное хаусдорфово пространство
• Стоуновское пространство^[англ.]
• Веер Кнастера — Куратовского представляет собой пример связного пространства, которое при удалении лишь одной точки становится вполне несвязным

Свойства

• Подпространства, произведения и копроизведения вполне несвязных пространств вполне несвязны.
• Вполне несвязные пространства являются T₁-пространствами в случае, если точки замкнуты.
• При непрерывном отображении образ вполне несвязного пространства, вообще говоря, не обязательно является вполне несвязным.
• Локально компактное хаусдорфово пространство является нульмерным тогда и только тогда, когда оно вполне несвязно.
• Любое вполне несвязное компактное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретных пространств.

Конструирование несвязного пространства

Пусть ${\displaystyle X}$ — произвольное топологическое пространство. Пусть ${\displaystyle x\sim y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle y\in \mathrm {conn} (x)}$ (где ${\displaystyle \mathrm {conn} (x)}$ обозначает максимальное связное подмножество, содержащее ${\displaystyle x}$). Очевидно, отношение ${\displaystyle \sim }$ является отношением эквивалентности, следовательно можно построить соответствующее факторпространство ${\displaystyle X/{\sim }.}$ Топология на ${\displaystyle X/{\sim }}$ естественным образом индуцируется топлогией на ${\displaystyle X,}$ а именно, открытые подмножества ${\displaystyle X/{\sim }}$ — это в точности те множества классов эквивалентности, прообраз которых при отображении факторизации является открытым в ${\displaystyle X.}$ Приложив немного усилий, можно показать, что ${\displaystyle X/{\sim }}$ является вполне несвязным. Мы также имеем следующее универсальное свойство: если ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ — непрерывное отображение во вполне несвязное пространство, то оно единственным образом представимо в виде ${\displaystyle f={\breve {f}}\circ m,}$ где отображение ${\displaystyle {\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y}$ непрерывно, а ${\displaystyle m}$ — отображение факторизации.

См. также

• Связное пространство
• Экстремально несвязное пространство

Ссылки

• Totally-disconnected space — Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098.