Родился 28 февраля1925 года на хуторе Верхний Попов ныне Белокалитвенского района Ростовской области в семье казака - хлебороба. Русский.
У его родителей — Ивана Кирилловича и Марии Ивановны — помимо старшего сына Бориса, было ещё двое детей, сын и дочь, которая умерла в раннем детстве. Отец был табунщиком в колхозе, и маленький Боря с детства помогал ему в работе. С началом войны отец ушёл на фронт, погиб в боях под Москвой осенью сорок первого года.
Борис окончил 5 классов.
В Красной Армии Борис с 25 марта1943 года. Окончив Ворошиловградскую полковую школу, стал миномётчиком. Участник войны с июня 1943 года. Боевое крещение получил под городом Лисичанском (ныне Луганская область Украины). Принимал участие в освобождении Украины, Польши.
29 июля1944 года в числе первых форсировал реку Висла в районе населённого пункта Лонжек (20 километров юго-западнее города Сандомир) и отразил атаку вражеских автоматчиков, уничтожив в упор до ста вражеских солдат и офицеров. Расчёт отличился и в боях под Копшивницей, где командир отделения Быков подбил вражеский танк.
Имя Быкова в числе выпускников Оренбургского училища на памятном знаке.
Вместе со своим полком 19-летний Герой дошёл до Варшавы, после взятия которой его вызвал к себе командир полка и сказал, что вышел приказ направить Быкова на учёбу в артиллерийское училище. Но перед этим они заехали в Москву, где в Кремле получили высокую награду из рук всесоюзного старосты — Михаила Ивановича Калинина.
Борис Иванович был направлен в Оренбургское училище осенью 1944 года. Пройдя ускоренный курс обучения, один год вместо трёх, Быков вышел из училища лейтенантом. Будучи курсантом, встретил здесь в училище свою судьбу — девушку Наташу. Она служила в воинской части при училище. В 1946 году они зарегистрировали свой брак.
После войны продолжал службу в Вооружённых Силах СССР. В 1947 году Быков был демобилизован. Вернулся на родину. Работал председателем колхоза имени Суворова в хуторе Верхний Попов. В 1953 году стал членом КПСС.
В начале 1950-х годов переехал в город Белая Калитва Ростовской области. Работал на Белокалитвенском металлургическом заводе, где прошёл путь от прессовщика до бригадира заточного отдела. После выхода на пенсию работал мастером в ПТУ, обучал будущих трактористов, комбайнёров.
В начале 1990-х годов Б. И. Быков стоял у истоков возрождения казачества в станице Усть-Белокалитвинской[1]. почетный гражданин города Белая Калитва, Почетный казак Усть-Белокалитвинского юрта, казачий полковник. Принимал активное участие в работе юрта, возглавлял совет стариков.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября1944 года за образцовое выполнение боевого задания командования в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, сержанту Быкову Борису Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 5299)[2].
Награждён орденом Ленина (1944), орденом Отечественной войны 1-й степени (1985), медалями, среди которых две медали «За Отвагу».
Мемориальная доска установлена на аллее Славы в городе Белая Калитва.
Фамилия Героя высечена на памятном знаке с именами Героев Советского Союза и Героев Социалистического Труда ‒ выпускников Оренбургского военного зенитно-ракетного училища (ныне слившегося с Военной академией войсковой ПВО РФ), установленном в Смоленске.
