Бомбелли, Рафаэль

Рафаэль Бомбелли
итал. Rafael Bombelli
Титульный лист второго (болонского) издания «Алгебры» (1579)
Дата рождения	1526(1526)
Место рождения	Болонья
Дата смерти	1572(1572)
Место смерти	вероятно, Рим
Страна	Папская область
Род деятельности	математик, инженер
Научная сфера	математика
Медиафайлы на Викискладе

Рафаэль Бомбелли (итал. Rafael Bombelli; ок. 1526, Болонья — 1572, вероятно, Рим) — итальянский математик, инженер-гидротехник. Настоящая фамилия: Маццоли (Mazzoli), ему пришлось сменить фамилию при возвращении в Болонью, потому что его дед был некогда казнён как заговорщик^[1].

Известен тем, что ввёл в математику комплексные числа как легальный объект и разработал базовые правила действий с ними. Перевёл и опубликовал «Арифметику» Диофанта; благодаря этому событию начинается история теории чисел в Европе.

Биография

Рафаэль Маццоли родился в Болонье в семье торговца шерстью Антонио Маццоли и дочери портного Диаманте Скудьери (Diamante Scudieri), он был старшим из шести их детей. Учился архитектуре. Как раз в это время открытия болонского математика дель Ферро в изложении Тартальи вызвали подъём массового интереса к математике, который захватил и Бомбелли^[1].

Будучи по делам в Риме, Бомбелли познакомился с профессором университета Антонио Мария Пацци, который незадолго до того обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись «Арифметики» Диофанта. Друзья договорились перевести её на латинский. Одновременно с переводом Бомбелли пишет свой трактат «Алгебра» в трёх книгах, куда включил не только свои разработки, но и множество задач Диофанта с собственными комментариями. Однако главную ценность труда Бомбелли составили его собственные открытия. Он планировал дополнить трактат ещё двумя книгами геометрического содержания, но не успел их завершить. В 1923 году незаконченные рукописи последних томов «Алгебры» были обнаружены историком Этторе Бортолотти^{[итал.][1]} и опубликованы в 1929 году.

Научная деятельность

Алгебра

Главный труд Бомбелли — «Алгебра» (L’Algebra), написана около 1560 года, издана в 1572 году в Венеции и переиздана в 1579 году в Болонье.

«Алгебра» примечательна во многих отношениях. Бомбелли, первый в Европе, свободно оперирует с отрицательными числами, приводит правила работы с ними, включая правило знаков для умножения. Он также первым, опередив своё время, оценил пользу комплексных чисел, в частности для решения уравнений третьей степени по формулам Кардано.

Пример^[2]. Уравнение ${\displaystyle x^{3}=15x+4}$ имеет вещественный корень x = 4, однако по формулам Кардано получаем: ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}}$.

Бомбелли обнаружил, что ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i}$, откуда сразу получается нужный вещественный корень. Он подчеркнул, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные слагаемые в формуле Кардано всегда сопряжены, поэтому при их сложении получается вещественный корень. Данное уравнение имеет ещё два вещественных корня (${\displaystyle -2\pm {\sqrt {3}}}$), однако отрицательные значения в тот период ещё не рассматривались как допустимые. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел.

Исчерпывающее исследование неприводимого случая требовало умения извлекать корни из комплексных чисел, а этого умения у Бомбелли ещё не было. Полностью проблему решили Виет и де Муавр.

Появление квадратных скобок у Бомбелли; записано выражение: ${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {14}}}}}$

Бомбелли также придумал первые скобки; они имели вид прямой и зеркально-отражённой буквы L. Привычные нам круглые скобки появились в том же XVI веке, однако в общее употребление их ввели только Лейбниц и Эйлер. Бомбелли первый стал использовать числовое (а не словесное, как ранее) обозначение для показателя степени, помечаемое специальной дужкой снизу. Современное обозначение показателя ввёл в широкое обращение Декарт^[3].

Цепные дроби

Из других научных достижений Бомбелли следует отметить фактическое применение цепных дробей для вычисления квадратных корней из натуральных чисел. Понятия цепной дроби у Бомбелли ещё не было, и ниже излагается алгоритм в более поздней версии, данной Катальди (1613 год)^[4].

Чтобы найти значение ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, сначала определим его целое приближение: ${\displaystyle {\sqrt {n}}=a\pm r}$, где ${\displaystyle 0<r<1\ }$. Тогда ${\displaystyle n=(a\pm r)^{2}=a^{2}\pm 2ar+r^{2}\ }$. Отсюда несложно вывести, что ${\displaystyle r={\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm r}}}$. Повторно подставляя полученное выражение в формулу ${\displaystyle {\sqrt {n}}=a\pm r}$, мы получаем разложение в цепную дробь:

${\displaystyle a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm \cdots }}}}}}}$

Для оценки точности полученных приближений можно использовать одно из свойств цепных дробей: последовательные значения подходящих дробей колеблются около точного значения, чередуя приближения с избытком и недостатком.

Пример. Для ${\displaystyle {\sqrt {13}},a=3}$ мы получаем последовательные приближения:

${\displaystyle 3{\frac {2}{3}},\ 3{\frac {3}{5}},\ 3{\frac {20}{33}},\ 3{\frac {66}{109}},\ 3{\frac {109}{180}},\ 3{\frac {720}{1189}},\ \cdots }$

Последняя дробь равна ${\displaystyle 3.605550883}$…, в то время как ${\displaystyle {\sqrt {13}}\ \approx 3.605551275}$.

Другие достижения

Бомбелли занимался древними задачами удвоения куба и трисекции угла и сумел доказать, что их можно свести к решению кубического уравнения^[5].

Память

В честь Бомбелли названы:

• лунный кратер Бомбелли;
• астероид 17696 Bombelli^[итал.].

Примечания

1. MacTutor.
2. Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 130. — 530 с.
3. Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint) §161. — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
4. Bombelli_algebra  (неопр.). Дата обращения: 26 января 2021. Архивировано 6 февраля 2021 года.
5. Математики. Механики, 1983.

Труды

• «Алгебра» Бомбелли (итал.).

Литература

• Боголюбов А. Н. Бомбелли Раффаэле // Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Каучикас А. П. Неопределённые уравнения в «Алгебре» Р. Бомбелли // История и методология естественных наук. — Изд. МГУ, 1978. — Т. 20. Математика и механика. — С. 138—146.
• Смирнова Г. С. Геометрическое решение кубических уравнений в "Алгебре" Рафаэля Бомбелли // История и методология естественных наук. — Изд. МГУ, 1989. — Т. 36. Математика и механика. — С. 123—129.

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Бомбелли, Рафаэль (англ.) — биография в архиве MacTutor.