Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр

Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр
Тип	Однородный звёздчатый многогранник
Комбинаторика
Элементы	150 рёбер 60 вершин Χ = 2
Грани	98
Двойственный многогранник	Большой пятиугольный шестидесятигранник
Вершинная фигура (3^4.^5/2)/2
Классификация
Обозначения	U74,K79, C90
Символ Шлефли	s{3/2,5/3}
Символ Витхоффа^[англ.]	|^3/2 ^5/3 2
Группа симметрии	I, [5,3]^+, 532

Большой (вывернутый) обратноплосконосый икосододекаэдр — невыпуклый однородный многогранник, имеющий индекс U₇₄. Его символ Шлефли — s{3/2,5/3}.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин большого обратноплосконосого икосододекаэдра все являются чётными перестановками

(±2α, ±2, ±2β),

(±(α−βτ−1/τ), ±(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ−1)),

(±(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+τ)),

(±(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−τ)) and

(±(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ+1)),

с чётным числом знаков плюс, где

α = ξ−1/ξ

и

β = −ξ/τ+1/τ²−1/(ξτ),

где τ = (1+√5)/2 — золотое сечение, а ξ — наименьший положительный вещественный нуль функции ξ³−2ξ=−1/τ, а именно

${\displaystyle \xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}}$

Марков = : β = −ξ/τ+1/τ²−1/(ξτ), где τ = (1+√5)/2 — золотое сечение, а ξ — наименьший положительный вещественный нуль функции ξ³−2ξ=−1/τ, а именно

${\displaystyle \xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}}$

что примерно равно 0,3264046. Если взять нечётные перестановки координат выше с нечётным числом знаков плюс, получим другую, энантиоморфную, форму. Если взять нечётные перестановки с чётным числом знаков плюс или наоборот, получим те же тела, повёрнутые на 90 градусов.

Радиус описанной сферы для тела с единичным ребром равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0,580002\dots }$,

где ${\displaystyle x}$ — подходящий нуль функции ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}$. Четыре положительных вещественных корня уравнения шестой степени в ${\displaystyle R^{2},}$

${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$

являются радиусами описанных сфер плосконосого додекаэдра (U₂₉), большого плосконосого икосододекаэдра^[англ.] (U₅₇), большого вывернутого плосконосого икосододекаэдра^[англ.] (U₆₉) и большого обратноплосконосого икосододекаэдра (U₇₄).

См. также

• Список однородных многогранников
• Большой плосконосый икосододекаэдр^[англ.]
• Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр^[англ.]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Great retrosnub icosidodecahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/