Атлас (топология)

Атлас — понятие дифференциальной геометрии, позволяющее вводить на многообразии дополнительные структуры; например, гладкую структуру или комплексную структуру.

Атлас состоит из отдельных карт, которые описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова «карта» и «атлас» приобретают свои обычные значения.

Определения

Пусть ${\displaystyle K}$ — числовое поле (например ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$), ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство.

• Карта — это пара ${\displaystyle (U,f)}$, где

${\displaystyle U}$ — открытое множество в ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f}$ — гомеоморфизм из ${\displaystyle U}$ в открытое множество в ${\displaystyle K^{n}}$

• Локальная карта вводит в ${\displaystyle U}$ криволинейные координаты, сопоставляя точке ${\displaystyle x=f^{-1}(t)}$ набор чисел ${\displaystyle t=(t^{1},...,t^{n})}$

• Если области определения двух карт ${\displaystyle (U_{1},f_{1})}$ и ${\displaystyle (U_{2},f_{2})}$ пересекаются (${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$), то между множествами ${\displaystyle f_{1}(U_{2})}$ и ${\displaystyle f_{2}(U_{1})}$ имеются взаимно обратные отображения (гомеоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :

  ${\displaystyle {\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}}$

• Атлас — это множество согласованных карт ${\displaystyle \{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}}$, ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, такое, что ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ образует покрытие пространства ${\displaystyle X}$. Здесь ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса ${\displaystyle C^{k}}$) или аналитическим, если функции замены координат ${\displaystyle f_{\alpha _{1}\alpha _{2}}}$ для всех карт гладкие (класса ${\displaystyle C^{k}}$) или аналитические.

Связанные определения

• Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.