Асимптотически параллельные прямые

Две прямые через заданную точку P, асимптотически параллельные прямой R.

В нейтральной или абсолютной геометрии и в геометрии Лобачевского могут иметься много прямых, параллельных данной прямой ${\displaystyle R}$ и проходящих через точку ${\displaystyle P}$ вне этой прямой. Однако две параллельные могут быть ближе к ${\displaystyle R}$, чем остальные (по одной с каждой стороны).

Имеет смысл в этом случаен дать другое определение параллельности для нейтральной геометрии. Если имеются очень близкие параллельные к данной прямой, их называют асимптотически параллельными или параллельными в пределе.

Для лучей отношение асимптотической параллельности является отношением эквивалентности, которое включает терминальное отношение эквивалентности.

Асимптотические параллельные могут образовывать две или три стороны асимптотического треугольника.

Определение

Луч Aa является асимптотически параллельным лучу Bb, что записывается как ${\displaystyle Aa|||Bb}$

Луч ${\displaystyle Aa}$ является асимптотически параллельным лучу ${\displaystyle Bb}$, если они котерминальны или если они лежат на различных прямых, не равных прямой ${\displaystyle AB}$, не пересекаются и любой луч внутри угла ${\displaystyle BAa}$ пересекает луч ${\displaystyle Bb}$^[1].

Свойства

Различные прямые, содержащие асимптотические параллельные лучи, не пересекаются.

Доказательство

Предположим, что прямые, содержащие различные параллельные лучи, пересекаются. По определению они не могут пересечься на стороне ${\displaystyle AB}$, в которой находится луч ${\displaystyle a}$. Тогда они должны пересекаться на стороне ${\displaystyle AB}$, противоположной лучу ${\displaystyle a}$, обозначим эту точку ${\displaystyle C}$. Тогда (здесь P = прямой угол) ${\displaystyle \angle CAB+\angle CBA<2P\Rightarrow \angle aAB+\angle bBA>2P}$. Противоречие.

См. также

• Орицикл, в геометрии Лобачевского кривая, нормали которой асимптотически параллельны
• Угол параллельности

Примечания

1. Hartshorne, 2000.

Литература

• Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond. — Corr. 2nd print.. — New York, NY [u.a.]: Springer, 2000. — ISBN 978-0-387-98650-0.