Угол параллельности θ, прямые
x
{\displaystyle {\mathcal {x}}}
y
{\displaystyle {\mathcal {y}}}
ℓ ℓ -->
{\displaystyle \ell }
У́гол паралле́льности в геометрии Лобачевского — угол между перпендикуляром к данной прямой и асимптотически параллельной прямой , проведённой из точки, не лежащей на данной прямой.
В евклидовой геометрии угол параллельности всегда прямой.
В геометрии Лобачевского , угол параллельности всегда острый.
На плоскости Лобачевского с кривизной −1 угол параллельности для точки на расстоянии
a
{\displaystyle a}
Π Π -->
(
a
)
{\displaystyle \Pi (a)}
Π Π -->
(
a
)
{\displaystyle \Pi (a)}
a
{\displaystyle a}
lim
a
→ → -->
0
Π Π -->
(
a
)
=
1
2
⋅ ⋅ -->
π π -->
и
lim
a
→ → -->
∞ ∞ -->
Π Π -->
(
a
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ и }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.}
sin
-->
Π Π -->
(
a
)
=
sech
-->
a
=
1
ch
-->
a
=
2
e
a
+
e
− − -->
a
,
{\displaystyle \sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}
cos
-->
Π Π -->
(
a
)
=
th
-->
a
=
e
a
− − -->
e
− − -->
a
e
a
+
e
− − -->
a
,
{\displaystyle \cos \Pi (a)=\operatorname {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}
t
g
-->
Π Π -->
(
a
)
=
csch
-->
a
=
1
sh
-->
a
=
2
e
a
− − -->
e
− − -->
a
{\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}}
t
g
-->
(
1
2
⋅ ⋅ -->
Π Π -->
(
a
)
)
=
e
− − -->
a
,
{\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},}
Π Π -->
(
a
)
=
1
2
⋅ ⋅ -->
π π -->
− − -->
gd
-->
(
a
)
,
{\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),}
где sh, ch, th, sech и csch — гиперболические функции , а gd — функция Гудермана .
Угол параллельности рассматривался Лобачевским [ 1]
c
t
g
-->
(
1
2
⋅ ⋅ -->
Π Π -->
(
a
)
)
=
e
a
.
{\displaystyle \operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.}
↑ Lobachevsky, N. I. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. — Berlin, 1840.
