Аналлагмати́ческая геоме́трия (англ. anallagmatic geometry) на плоскости — обширный[1] раздел геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при преобразованиях, переводящих окружности в окружности[2]. Иногда под аналлагматической геометрией понимают только её часть на расширенной плоскости[3][4].
Иногда используются следующие синонимы на расширенной плоскости: конфо́рмная геоме́трия (как частный двумерный случай)[5]; кругова́я геоме́трия[6][7]; геоме́трия окру́жностей[8].
Аналлагматическая геометрия на плоскости — обширный[1] раздел геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при преобразованиях, переводящих окружности в окружности[2]. Иногда под аналлагматической геометрией понимают только её часть на расширенной плоскости[3][4].
Расширенная плоскость в данном случае получена добавлением к обычной плоскости «бесконечно удалённой точки». Этот частный случай расширенной плоскости называется круговой плоскостью[9].
Содержание настоящего материала переносится с геометрии окружностей на геометрию сфер почти без принципиально новых идей[10].
Аналлагматическая геометрия на плоскости имеет три следующие основные ветви[8][10]: точечная аналлагматическая геометрия на расширенной плоскости (принципы заложены немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом (1790—1868)); осевая аналлагматическая геометрия на обычной плоскости (принципы заложены французским математиком Эдмоном Лагерром (1834—1886)); касательная аналлагматическая геометрия на расширенной плоскости (принципы заложены норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899)).
Эти три аналлагматические геометрии обладают следующими особенностями[11]:
То́чечная аналлагмати́ческая геоме́трия на расширенной плоскости — одна из трёх основных ветвей аналлагматической геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при точечных круговых преобразованиях, то есть точечных преобразованиях, переводящих окружности в окружности[4][8][7][12].
Синоним: аналлагмати́ческая геоме́трия Мёбиуса[4][7].
Окружностью называется множество всех точек плоскости таких, что они удалены от фиксированной точки плоскости на одно и то же расстояние. Это расстояние называется радиусом окружности, а фиксированная точка — центром окружности[13].
Если радиус окружности равен нулю, то она вырождается в окружность нулевого радиуса — точку. Обычная окружность с положительным радиусом называются собственной окружностью. Точки и собственные окружности называются окружностями конечного радиуса[13].
Если радиус окружности устремить к бесконечности, то она вырождается в окружность бесконечного радиуса — прямую. Прямые и собственные окружности называются окружностями ненулевого радиуса[14].
Обобщающее определение окружности следующее[14]: окружностями называются собственные окружности, точки и прямые.
Две окружности называются касающимися, если они имеют только одну общую точку, а именно[14]:
Бесконечно удалённой точкой называется предел, к которому стремится точка, неограниченно удаляющаяся по прямой на плоскости в любом направлении. Бесконечно удалённая точка (любая прямая плоскости) инцидентна любой прямой плоскости (бесконечно удалённой точке). Бесконечно удалённая точка устраняет различие между окружностями и прямыми, поскольку прямые с бесконечно удалённой точкой замкнуты, они «замыкаются в бесконечности»[15].
Круговой, или расширенной, плоскостью называется плоскость, расширенная одной бесконечно удалённой точкой. Это понятие — математическая абстракция, наряду с понятием обычной бесконечной плоскости[15].
Точечным круговым преобразованием, или круговым преобразованием, или преобразованием Мёбиуса, называется преобразование круговой плоскости, отображающее прямые и окружности снова в прямые и окружности, то есть отображающее в себя множество всех окружностей ненулевого радиуса[4][7].
Множество всех точечных круговых преобразований совпадает с множеством дробно-линейных преобразований плоскости[16].
Группой точечных круговых преобразований называется множество всех точечных круговых преобразований, а также множество всех касательных круговых преобразований. Группы точечной аналлагматической геометрии и касательной аналлагматической геометрии совпадают[8].
Осева́я аналлагмати́ческая геоме́трия на расширенной плоскости — одна из трёх основных ветвей аналлагматической геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при осевых круговых преобразованиях, то есть осевых преобразованиях, переводящих окружности в окружности[17].
Синоним: геоме́трия Лаге́рра[18][19].
Свойства точек аналогичны свойствам прямых, например[20]:
Окружность можно определять разными способами[20]: в точечной аналлагматической геометрии — как множество точек, принадлежащих окружности; в осевой аналлагматической геометрии — как множество прямых, касательных к окружности.
Окружности и точки в осевой аналлагматической геометрии понимаются следующим образом[21].
Окружность — множество всех прямых плоскости, равноудалённых от фиксированной точки плоскости. Эта фиксированная точка — центр окружности, а расстояние от центра до прямых — радиус окружности[21].
Точка — множество всех прямых плоскости, проходящих через эту точку. Другими словами, точка — это окружность нулевого радиуса[21].
Понятие окружности приходится уточнять по той причине, что сходство между окружностью точечной аналлагматической геометрии как множеством точек и окружностью осевой аналлагматической геометрии как множеством прямых в общем случае нарушается, например, по следующим причинам[22]:
Для устранения этих нестыковок вводят следующие понятия[22].
Направленная окружность, или цикл, — окружность, для которой окончательно выбрано одно из двух направлений[22].
Направленная прямая, или ось, — прямая, для которой окончательно выбрано одно из двух направлений[22].
Две направленные окружности касаются, если их направления в общей точке совпадают. Направленная окружность и направленная прямая касаются, если их направления в общей точке совпадают. Две направленные прямые параллельны, если их направления совпадают[23].
Итак, цель введения направленных окружностей и прямых достигнута, поскольку[24]:
Осевым преобразованием плоскости называется преобразование направленных прямых плоскости, то есть преобразования плоскости, которые отображают любую направленную прямую снова в направленную прямую. В общем случае осевое преобразование не переводит точки опять в точки: если точка — это множество проходящих через неё направленных прямых, то осевое преобразование может отобразить эту точку в некоторую кривую, задаваемую своими касательными — образами направленных прямых, проходящих через точку. Аналогично точечное преобразование отображает прямую как множество её точек в некоторую кривую, задаваемую отображёнными точками[18].
Осевым круговым преобразованием, или преобразованием Лагерра, называется осевое преобразование, отображающее любую направленную окружность ограниченного радиуса снова в направленную окружность ограниченного радиуса, то есть отображают множество касательных любой окружности снова в множество касательных некоторой окружности[18][25].
Предложение. Множество всех осевых круговых преобразований образуют группу[26].
Доказательство. Для этого множества выполняются все три аксиомы группы, так как осевые круговые преобразования — это преобразования в множестве направленных прямых плоскости[26]:
Группой осевых круговых преобразований называется множество всех осевых круговых преобразований[26].
Каса́тельная аналлагмати́ческая геоме́трия на расширенной плоскости — одна из трёх основных ветвей аналлагматической геометрии, изучающиая свойства фигур, сохраняющихся при касательных круговых преобразованиях, то есть касательных преобразованиях, переводящих окружности в окружности[4][17].
Синонимы на расширенной плоскости: конта́ктная аналлагмати́ческая геоме́трия[8]; кругова́я аналлагмати́ческая геоме́трия[4]; аналлагмати́ческая геоме́трия прикоснове́ний[4]; аналлагмати́ческая геоме́трия Ли[4][27].
Точечная аналлагматическая геометрия имеет следующие особенности рассмотрения своих элементов[28]:
Осевая аналлагматическая геометрия основными элементами имеет не точки, а прямые[28]:
Касательная аналлагматическая геометрия представляет собой более общую теорию по сравнению с двумя предыдущими аналлагматическими геометриями — точечной и осевой, поскольку в ней и точки, и прямые суть частные случаи окружности. При этом по-прежнему[28]:
По причине того, что в касательной аналлагматической геометрии ни точки, ни прямые ничем не выделяются из окружностей, понимаемых в смысле этой геометрии, основной элемент здесь — линейный элемент[11].
Линейный элемент — пара геометрических образов: точка и направленная прямая, проходящая через эту точку[29][30]. Другими словами, линейный элемент — это точка и направление, заданное в этой точке. Бесконечно удалённый линейный элемент — пара геометрических образов: бесконечно удалённая точка плоскости и направление, которое определяется любой направленной прямой (параллельные прямые задают одно направление)[30].
Окружности, точки и прямые в касательной аналлагматической геометрии понимаются следующим образом[30]:
Касающимися окружностями называются окружности, имеющие общий линейный элемент. Возможны следующие шесть разных пар геометрических элементов, представляющих собой две касающиеся окружности[31]:
Касательным преобразованием, или преобразованием Ли, называется преобразование в множестве линейных элементов, отображающее любую кривую снова в некоторую кривую, другими словами, отображающее множество линейных элементов любой направленной кривой снова в множество линейных элементов некоторой направленной кривой[29][27]. При этом, если кривые касаются, то касательное преобразование отображает их снова в касающиеся кривые. Именно это свойство переводить касательные окружности в касательные и дало название касательному преобразованию и касательной геометрии[27]. Пример касательного преобразования — Подерное преобразование[29].
Касательным круговым преобразованием, или круговым преобразованием Ли, называется преобразование в множестве линейных элементов, отображающее любую окружность снова в некоторую окружность, другими словами, отображающее множество линейных элементов любой направленной окружности снова в множество линейных элементов некоторой направленной окружности. При этом, если окружности касаются, то касательное аналлагматическое преобразование отображает их снова в касающиеся окружности. Именно это свойство переводить касательные окружности в касательные и дало название касательному круговому преобразованию и касательной круговой геометрии[27][25].
Группой точечных круговых преобразований называется множество всех касательных круговых преобразований, а также множество всех точечных круговых преобразований. Группы касательной аналлагматической геометрии и точечной аналлагматической геометрии совпадают[8].
Точечные круговые преобразования и осевые круговые преобразования суть частные случаи касательных круговых преобразований, поэтому можно считать, что точечные (осевые) круговые преобразования — это те касательные круговые преобразования, которые переводят точки в точки (прямые в прямые). Также имеются касательные круговые преобразования, точки и прямые не сохраняющие, которые можно получить, например, сделав сразу несколько как точечных, так и осевых круговых преобразования[32].
Предложение. Любое касательное круговое преобразование есть композиция, то есть последовательно применение нескольких точечных и осевых круговых преобразований[32].
Если в задаче Аполлония три окружности направленные, то эта задача может иметь до двух решений. Отсюда следует, что в случае ненаправленных окружностей задача Аполлония может иметь до восьми решений. Направления трёх окружностей можно выбрать шестнадцатью способами, что даёт шестнадцать направленных окружностей, которые попарно отличаются только направлением[33].