Абсолютная группа Галуа

Абсолютная группа Галуа ${\displaystyle G_{K}}$ поля ${\displaystyle K}$ — группа Галуа ${\displaystyle K^{sep}}$ над ${\displaystyle K}$, где ${\displaystyle K^{sep}}$ — сепарабельное замыкание ${\displaystyle K}$. Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля ${\displaystyle K}$, которые оставляют ${\displaystyle K}$ неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.

(Если ${\displaystyle K}$ — совершенное поле, ${\displaystyle K^{sep}}$ совпадает с алгебраическим замыканием ${\displaystyle K^{alg}}$ поля ${\displaystyle K}$. Например, это верно для полей характеристики 0 и конечных полей.)

Примеры

• Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
• Абсолютная группа Галуа действительных чисел — циклическая группа, состоящая из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), так как ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — сепарабельное замыкание ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$.
• Абсолютная группа Галуа конечного поля ${\displaystyle K}$ изоморфна группе ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$ Здесь ${\displaystyle \varprojlim }$ — проективный предел.

Автоморфизм Фробениуса ${\displaystyle Fr}$ — канонический (топологический) генератор ${\displaystyle G_{K}}$ (${\displaystyle Fr(x)=x^{q}}$, где ${\displaystyle q}$ — число элементов в ${\displaystyle K}$).

• Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами является свободной проконечной группой^[1].
• В более общем случае, пусть ${\displaystyle C}$ — алгебраически замкнутое поле и ${\displaystyle x}$ — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа поля ${\displaystyle K=C(x)}$ — свободная группа ранга равного мощности ${\displaystyle C}$^[2][3][4].
• Пусть ${\displaystyle K}$ — конечное расширение p-адических чисел ${\displaystyle Q_{p}}$. Для ${\displaystyle p\neq 2}$, его абсолютная группа Галуа порождается ${\displaystyle [K:Q_{p}]+3}$ элементами и имеет явное описание в терминах образующих и соотношений.
• Абсолютная группа Галуа определена для наибольшего чисто вещественного подполя поля алгебраических чисел.

Открытые проблемы

• Неизвестно явное описание абсолютной группы Галуа рациональных чисел. В этом случае из теоремы Белого следует, что абсолютная группа Галуа имеет эффективное действие на dessins d’enfants^[англ.] Гротендика, что позволяет представить в наглядном виде теорию Галуа полей алгебраических чисел.
• Гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа максимального абелева расширения рациональных чисел — свободная проконечная группа.

Примечания

1. Adrien Douady. Détermination d'un groupe de Galois (фр.) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. — 1964. — Vol. 258. — P. 5305–5308., MR: 0162796
2. David Harbater. Fundamental groups and embedding problems in characteristic p (англ.) // American Mathematical Society. — 1995. — Vol. 186. — P. 353–369.
3. Dan Haran, Moshe Jarden. The absolute Galois group of C(x) (англ.) // Pacific Journal of Mathematics : журнал. — 2000. — Vol. 196, no. 2. — P. 445–459. — doi:10.2140/pjm.2000.196.445.
4. Florian Pop. Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1995. — Vol. 120, no. 3. — P. 555–578. — doi:10.1007/bf01241142.