R-матрица

Термин R-матрица используется в связи с уравнением Янга-Бакстера. Это уравнение, впервые введенное в области статистической механики, получило свое название от независимой работы С. Н. Янга и Р. Дж. Бакстера. Классическая R-матрица возникает в определении классического уравнения Янга–Бакстера.^[1]

Определение

Пусть ${\displaystyle V}$- векторное пространство над полем ${\displaystyle k}$. Линейный автоморфизм ${\displaystyle c}$пространства ${\displaystyle V\otimes V}$ называется R-матрицей, если он удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера: ${\displaystyle (c\otimes {\text{id}}_{V})({\text{id}}_{V}\otimes c)(c\otimes {\text{id}}_{V})=({\text{id}}_{V}\otimes c)(c\otimes {\text{id}}_{V})({\text{id}}_{V}\otimes c)}$, которое рассматривается как соотношение в группе автоморфизмов пространства ${\displaystyle V\otimes V\otimes V}$.

Пример

1. Пусть ${\displaystyle V}$ — конечномерное векторное пространство над полем ${\displaystyle k}$ с базисом ${\displaystyle \{e_{1},...,e_{N}\}}$, ${\displaystyle p,q}$ — обратимые скаляры, ${\displaystyle \{r_{ij}\}_{1\leq i,j\leq N}}$ — семейство элементов поля ${\displaystyle k}$, т.ч. ${\displaystyle r_{ii}=q}$ и ${\displaystyle r_{ij}r_{ji}=p}$ для ${\displaystyle i\neq j}$ , ${\displaystyle c}$ — автоморфизм, задающийся на базисе пространства ${\displaystyle V\otimes V}$ формулами: ${\displaystyle c(e_{i}\otimes e_{i})=qe_{i}\otimes e_{i},}$ ${\displaystyle c(e_{i}\otimes e_{j})={\begin{cases}r_{ji}e_{j}\otimes e_{i},&i<j\\r_{ji}e_{j}\otimes e_{i}+(q-pq^{-1})e_{i}\otimes e_{j},&i>j\end{cases}}}$. Автоморфизм ${\displaystyle c}$ является решением уравнения Янга-Бакстера.

Примечания

1. Kupershmidt, Boris A. (1999). "What a Classical r-Matrix Really Is". Journal of Nonlinear Mathematical Physics. Informa UK Limited. 6 (4): 448–488.