N-OFDM

Технологии модуляции
Аналоговая модуляция
АМ ОМ (SSB) ЧМ (FM) ЛЧМ ФМ (PM) СКМ
Цифровая модуляция
АМн ФМн КАМ ЧМн GMSK OFDM COFDM TCM
Импульсная модуляция
АИМ ДМ ИКМ АДИКМ ΣΔ ШИМ ЧИМ ФИМ
Расширение спектра
FHSS DSSS CSS
См. также: Демодуляция

N-OFDM (англ. Non-Orthogonal Frequency Division Multiplexing — мультиплексирование с неортогональным частотным разделением каналов) является цифровым методом модуляции, использующим множество близко расположенных, неортогональных по частоте поднесущих^[1][2]. Как и в OFDM, каждая поднесущая модулируется по обычной схеме модуляции (например, квадратурная амплитудная модуляция).

Принцип размещения поднесущих

Распределение поднесущих относительно амплитудно-частотных характеристик фильтров БПФ (быстрого преобразования Фурье)

N-OFDM сигнал формируется ${\displaystyle N}$ гармоническими поднесущими, которые могут быть разнесены по частоте как на равные промежутки ${\displaystyle \Delta f}$ (в этом случае речь идёт об эквидистантном размещении поднесущих), так и на разные частотные интервалы (неэквидистантный вариант N-OFDM). При эквидистантном размещении частот занимаемая N-OFDM сигналом полная полоса частот ${\displaystyle \Delta F}$ делится на ${\displaystyle N}$ подканалов, ширина которых ${\displaystyle \Delta f<1/T_{s}}$, где ${\displaystyle T_{s}}$ — длительность сигнальной выборки, над которой выполняется операция быстрого преобразования Фурье (символьный интервал).

Таким образом, если записать выражение для частотного интервала между поднесущими в виде ${\displaystyle \Delta f=\alpha /T_{s}}$, то случай ${\displaystyle \alpha =1}$ будет соответствовать OFDM, а ${\displaystyle \alpha <1}$ — эквидистантному варианту N-OFDM.

При неэквидистантном размещении поднесущих, в общем случае в пределах одного многочастотного пакета могут сочетаться не только частотные интервалы ${\displaystyle \Delta f_{i}<1/T_{s}}$, но и присущие OFDM (${\displaystyle \Delta f_{i}=1/T_{s}}$) и даже FDM (${\displaystyle \Delta f_{i}>1/T_{s}}$). Преимуществом неэквидистантного размещения поднесущих является возможность значительного уменьшения ошибок оценивания квадратурных составляющих амплитуд сигналов по сравнению с равномерным частотным интервалом^[1][2].

Краткая история теории N-OFDM

Прообразом данного метода модуляции сигналов явился способ измерения амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) радиотехнической системы с помощью многочастотного сигнального пакета, изложенный в описании патента Российской Федерации на изобретение № 2054684^[3]. В этом изобретении использовалось оптимальное оценивание амплитуд каждого из гармонических сигналов, идентичное применённому впоследствии для демодуляции N-OFDM сигналов. Существенным отличием указанного способа явилось то, что частоты входных воздействий в суммарном пакете входных сигналов могут быть разнесены на частотный интервал, меньший релеевского предела разрешения (ширины АЧХ частотного фильтра).

В 2001 г. Слюсарем В.И. было положено начало развитию теории N-OFDM^[4][5][6][7]. Это научное направление явилось обобщением технологии OFDM и отличается сверхрелеевским уплотнением сигналов по частоте с последующей демодуляцией сигналов путём оптимального решения системы уравнений правдоподобия относительно неизвестных оценок амплитуд.

Аналогичные работы за рубежом впервые появились осенью 2003 года^{[8][9][10][11][12][13]}. При этом используются эквивалентные по отношению к N-OFDM термины NOFDM^[14], n-OFDM^[15], Spectrally Efficient FDM (SEFDM)^[8][16] и др., по сути описывающие известные из публикаций по N-OFDM^{[3][4][5][6][7]} методы формирования и обработки неортогональных по частоте сигналов, а также представляющие собой их дальнейшее развитие.

Преимущества N-OFDM

Несмотря на возросшую сложность демодуляции N-OFDM сигналов по сравнению с OFDM, переход к неортогональной расстановке частот поднесущих обеспечивает ряд преимуществ:

1. более высокая спектральная эффективность, позволяющая уменьшить полосу частот, занимаемую сигналом, и улучшить электромагнитную совместимость множества терминалов
2. адаптивная отстройка от сосредоточенных по частоте помех путём изменения номиналов частот поднесущих
3. возможность учёта допплеровских сдвигов частот поднесущих при работе с перемещающимися на высоких скоростях абонентами
4. использование различных частотных планов в качестве дополнительного ключа для защиты информации от несанкционированного доступа к каналу связи
5. уменьшение пик-фактора многочастотной сигнальной смеси

Методы обработки N-OFDM сигналов

Идеализированный передатчик N-OFDM сигналов

Сигнал N-OFDM — сумма множества неортогональных поднесущих^[1], на каждой из которых передаваемые на основной частоте данные независимо модулируются с помощью одного из типов модуляции (BPSK, QPSK, 8-PSK, QAM и др.). Далее этим суммарным сигналом модулируется несущая радиочастота.

${\displaystyle s[n]}$ — это последовательный поток двоичных цифр. Перед сигнальным процессором (DSP) этот поток преобразуется сначала в N параллельных потоков, после чего каждый из них отображается в поток символов с помощью процедуры фазовой (BPSK, QPSK, 8-PSK) или амплитудно-фазовой квадратурной модуляции (QAM). При использовании модуляции BPSK получается поток двоичных чисел (1 и −1), при QPSK, 8-PSK, QAM — поток комплексных чисел. Так как потоки независимы, то способ модуляции и, следовательно, количество бит на символ в каждом потоке могут быть разными. Следовательно, разные потоки могут иметь разную битовую скорость. Например, пропускная способность линии 2400 бод (символов в секунду), и первый поток работает с QPSK (2 бита на символ) и передает 4800 бит/с, а другой работает с QAM-16 (4 бита на символ) и передает 9600 бит/с.

Цифровой сигнальный процессор (DSP) использует N одновременно поступающих символов, создавая такое же множество комплексных отсчетов во временной области (time-domain samples), соответствующих сумме отсчетов напряжений неортогональных по частоте гармонических сигналов. Далее цифро-аналоговые преобразователи (DAC) преобразуют в аналоговый вид отдельно действительную и мнимую компоненты, после чего они модулируют, соответственно, радиочастотную косинусоиду и синусоиду. Эти сигналы далее суммируются и дают передаваемый сигнал s(t).

Идеализированный приёмник N-OFDM сигналов

Приемник принимает сигнал r(t) , выделяет из него косинусную (cos) и синусную (sin) квадратурные составляющие с помощью умножения r(t) на ${\displaystyle \cos(2\pi f_{c}t)}$ и — ${\displaystyle \sin(2\pi f_{c}t)}$ и фильтров нижних частот, которые отфильтровывают колебания в полосе вокруг ${\displaystyle 2f_{c}}$. Получившиеся сигналы далее оцифровываются с помощью аналого-цифровых преобразователей (ADC), подвергаются прямому быстрому преобразованию Фурье (FFT). Получается N-OFDM сигнал в частотной области.

Совокупность N параллельных потоков данных поступает на символьный декодер, который с помощью заданного алгоритма преобразует двоичную последовательность в информационные символы фазовой модуляции (при использовании в передатчике BPSK, QPSK, 8-PSK) или амплитудно-фазовой квадратурной модуляции (при использовании в передатчике QAM). В идеале получается поток битов, равный потоку, который передал передатчик.

Ортогонализация Грама-Шмидта и Лёвдина

Для демодуляции сигналов N-OFDM в работах ^[17][18] предложено использовать классическую процедуру ортогонализации сигналов Грама-Шмидта (GS), позволяющую превратить линейно независимую систему векторов в ортонормированную. Недостатком такого подхода является существенный рост ошибок ортогонализации при увеличении количества поднесущих сигналов в пакете, особенно при сокращении их частотного разнесения. Более устойчивой к ошибкам является процедура ортогонализации Левдина (Per-Olov Löwdin, LO) ^[17]. Для сравнения на рис^[17]. приведена зависимость величины BER от межчастотного интервала для 16 и 32 поднесущих при демодуляции N-OFDM сигналов методами Грама-Шмидта и Левдина. Особенностью указанных методов ортогонализации является необходимость амплитудно-фазовой коррекции сигналов после выполнения процедуры ортогонализации, что связано с сопутствующими ей искажениями соответствующих параметров поднесущих. Коэффициенты коррекции могут рассчитываться по пилот-сигналам на этапе вхождения в связь.

Зависимость величины BER от межчастотного интервала для 16 и 32 поднесущих при демодуляции сигналов методами Грама-Шмидта и Левдина ^[17]

Обработка N-OFDM сигналов по отсчётам АЦП

При обработке отсчётов аналого-цифрового преобразователя (АЦП) задача демодуляции N-OFDM сигналов сводится к решению системы уравнений, составленной по отсчётам напряжений сигнальной смеси, относительно неизвестных квадратурных составляющих амплитуд поднесущих.

Обработка N-OFDM сигналов с децимацией отсчётов АЦП

Суть данного варианта обработки заключается в том, что перед синтезом частотных фильтров с помощью операции БПФ на приёмной стороне выполняется прореживание информационного потока путём дополнительного стробирования (децимации) отсчётов АЦП (накопления по определённому закону в фиксированных временных интервалах со сбросом)^[5][19] Соответствующая обработка отсчётов сигналов с учётом целочисленной длительности строба M (фактор децимации) может быть представлена в виде:^[19]

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{M-1}x[nM+k]\ e^{-i2\pi fkT},n=0,1,..,N}$,

где T - период дискретизации АЦП (интервал между отсчётами). ${\displaystyle x[nM+k]}$ - входные отсчёты напряжений сигнала до децимации, M - длительность строба, ${\displaystyle f}$ - центральная частота пакета N-OFDM сигналов.

Если ${\displaystyle 2\pi fkT=k\pi /2}$, то имеет место ${\displaystyle e^{-i2\pi fkT}=1,e^{-i\pi /2},e^{-i\pi },...}$ и следовательно^[19]

${\displaystyle Re(y[n])=\sum _{k=0}^{M-1}(Re(x[nM+k])cos{k\pi /2}+Im(x[nM+k])sin{k\pi /2})\,}$,

${\displaystyle Im(y[n])=\sum _{k=0}^{M-1}(Im(x[nM+k])cos{k\pi /2}-Re(x[nM+k])sin{k\pi /2})\,}$.

При ${\displaystyle Im(x[nM+k])=0}$ получим

${\displaystyle Re(y[n])=x[nM]-x[nM+2]+x[nM+4]-...,}$,

${\displaystyle Im(y[n])=-x[nM+1]+x[nM+3]-x[nM+5]-...}$.

Дальнейший синтез фильтров БПФ производится по сформированным в результате децимации отсчётам сигнальной смеси^[5]. Помимо снижения требований к производительности устройств обработки указанная децимация позволяет повысить помехозащищённость приёмных каналов за счёт подавления внеполосного приёма сигналов с помощью АЧХ децимирующего устройства. Кроме того, децимация отсчётов позволяет упростить реализацию аппаратуры цифрового диаграммообразования в случае использования для приёма N-OFDM сигналов цифровых антенных решеток, например в системе MIMO.

При необходимости более качественной anti-aliasing фильтрации отсчётов АЦП, в указанное выражение для процедуры децимации следует подставить вектор весовых коэффициентов ${\displaystyle h[k]}$:

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{M-1}x[nM+k]h[k]\ e^{-i2\pi fkT},n=0,1,..,N}$,

Примером такого рода весовой обработки при ${\displaystyle 2\pi fkT=k\pi /2}$ является децимация с нечетной длительностью строба:^[20]

${\displaystyle Re(y[n])=-6[nM+1]+32x[nM+3]-52x[nM+5]+32x[nM+7]-6x[nM+9],}$

${\displaystyle Im(y[n])=x[nM]-17x[nM+2]+46x[nM+4]-46x[nM+6]+17x[nM+8]-x[nM+10].}$

Поскольку децимация отсчётов АЦП сопровождается частотно-зависимым паразитным доворотом фаз всех поднесущих, а также искажением АЧХ фильтров БПФ при демодуляции N-OFDM сигналов следует проводить коррекцию оценок квадратурных составляющих амплитуд сигналов для компенсации указанных фазовых и частотных искажений. Аналогичная обработка с децимацией отсчётов АЦП может применяться и в случае OFDM, COFDM сигналов.

Демодуляция N-OFDM сигналов по выходам фильтров БПФ

Подробное изложение процедуры демодуляции N-OFDM после синтеза частотных фильтров с помощью БПФ приведено в описании патента Российской Федерации на изобретение № 2054684^[3].

Демодуляция N-OFDM сигналов без синтеза фильтров БПФ

При отказе от формирования фильтров БПФ демодуляция N-OFDM сигналов возможна корреляционным методом. Подобного рода пример рассмотрен в работе Макарова С. Б., Завьялова С. В.^[21]

Демодуляция N-OFDM сигналов на основе вейвлет-фильтрации

Для демодуляции N-OFDM сигналов, представляющих собой совокупность гармонических, неортогональных по частоте поднесущих, на приемной стороне может использоваться вейвлет-фильтрация. В простейшем случае это может быть система ортогональных по частоте вейвлет-фильтров, синтезируемых на основе вейвлет-преобразований, приводящих к АЧХ, описываемым аналитическими функциями^[22]. Примером такого рода вейвлетов являются гармонические всплески и вейвлет Морле ^[23].

Разновидности метода N-OFDM

N-OFDM на основе базисных функций Хартли

В данной версии N-OFDM сигналы на передающей стороне формируются путём модуляции cas-функций по закону импульсной амплитудной модуляции (PAM) или квадратурной амплитудной модуляции (QAM). На приёмной стороне в процессе демодуляции сигналов осуществляется оценивание амплитуд каждой из cas-функций по методу максимального правдоподобия или методу наименьших квадратов^[24]. При этом для обработки могут использоваться отсчёты, следующие в темпе периода дискретизации АЦП либо же после их децимации. В качестве децимирующей функции используется функция Хартли.^[25]

В частности, если ${\displaystyle Im(x[nM+k])=0}$ и ${\displaystyle 2\pi fkT=k\pi /2}$, то децимация выполняется согласно выражению^[25]

${\displaystyle Re(y[n])=\sum _{k=0}^{M-1}(Re(x[nM+k])cas{k\pi /2})\,}$,

${\displaystyle Im(y[n])=-\sum _{k=0}^{M-1}(Im(x[nM+k])cas{k\pi /2})\,}$.

N-OFDM +MIMO

Fast-OFDM

В 2002 г. сотрудники колледжа лондонского университета Izzat Darwazeh и M.R.D. Rodrigues ^[26] предложили метод частотного мультиплексирования данных Fast-OFDM (FOFDM), отличающийся использованием частотного разнесения поднесущих, в 2 раза меньшего, чем в случае OFDM. Данное обстоятельство позволяет с большой долей условности рассматривать Fast-OFDM как промежуточное звено между OFDM и N-OFDM.

В основе метода Fast-OFDM лежит тот факт, что действительная часть коэффициента корреляции двух комплексных поднесущих равна нулю, если разнос по частоте между поднесущими кратен целому числу 1/(2T) (Т – интервал накопления) (полусимвольный интервал между поднесущими.). При этом существенно, что, несмотря на двукратное уплотнение по частоте по сравнению с OFDM, сигналы по-прежнему остаются ортогональными друг другу. На рис. проиллюстрирован спектр сигнального пакета из 32 поднесущих в случае OFDM и Fast-OFDM модуляций^[17]. Следует особо обратить внимание, что по мере увеличения частотного уплотнения уровень внеполосного излучения сигналов снижается.

Важно, однако, отметить, что выигрыш в спектральной эффективности по отношению к OFDM в случае Fast-OFDM возможен только при использовании вещественного представления сигналов и одномерных (вещественных) схем их модуляции – BPSK или М-ичной ASK. В противном случае, переданная с помощью Fast-OFDM сигналов информация не может быть восстановлена на приёмной стороне.

Впрочем, столь существенный недостаток не помешал авторам данного метода продолжить исследование его возможностей ^[27][28][29] и довести развитие соответствующей теории до экспериментальных демонстраций в оптоволоконных системах передачи данных ^[30][31][32] К примеру, описан факт ^[32] передачи данных со скоростью 20 Гигабит/с с использованием модуляции 4-ASK F-OFDM по-оптоволоконному кабелю на расстояние 840 км. При этом для частотной селекции поднесущих вместо БПФ используется дискретное косинусное преобразование. С учётом анализа возможностей Fast-OFDM более перспективным представляется радикальный переход к сверхразрешению в спектральной области, позволяющий разместить частоты сигналов более плотно, сделав их неортогональными друг другу.

FBMC

FBMC (англ. Filter-Bank Multi-Carrier Modulation — метод частотного мультиплексирования с множеством несущих, использующий банк (гребёнку) частотных фильтров^[33])

К сожалению, название метода выбрано не совсем удачно, поскольку оно не позволяет однозначно судить о сути метода: к примеру, под данное определение подпадает и OFDM, в котором используется банк фильтров быстрого преобразования Фурье (БПФ).

На самом деле в основе технологии FBMC, представленной в зарубежных публикациях, лежит применение в передающем и приёмном сегментах дополнительной по отношению к быстрому преобразованию Фурье фильтрации с высокой частотной избирательностью. Это позволяет существенно подавить внеполосное излучение, а также повысить спектральную эффективность многочастотного сигнала и помехозащищённость каналов связи. Наибольшее распространение получила дополнительная фильтрация путём взвешенного суммирования откликов нескольких фильтров БПФ, например, весовым окном Хемминга.

В опубликованных работах по методу FBMC нередко используется характерная для OFDM расстановка частот поднесущих^[34][35]. При этом в случае FBMC отличие состоит в существенно сниженном уровне внеполосного приёма.

Однако, подобно методу Fast-OFDM в случае FBMC также может быть получено частотное уплотнение каналов, соответствующее полусимвольному интервалу между поднесущими^[36]. Данный факт позволяет отнести FBMC c определённой долей условности к классу методов с неортогональными по частоте сигналами (Non-Orthogonal Waveform).

Одна из первых русскоязычных работ по анализу зарубежной версии метода FBMC была представлена в мае 2012 г. на Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Научная сессия ТУСУР–2012» в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) ^[37]

История метода FBMC берёт начало с работ, посвящённых решению задачи подавления боковых лепестков АЧХ фильтров, синтезированных на основе быстрого преобразования Фурье. При этом в отличие от метода FBMC подавлялись боковые лепестки АЧХ не каждого фильтра БПФ, а всего их банка в целом. Одной из первых публикаций такого рода стала диссертация Eric Phillip Lawrey ^[38], в которой для подавления боковых лепестков, было предложено использовать предварительную цифровую фильтрацию отсчётов OFDM сигналов, полученных по выходу АЦП, на основе FIR-фильтров с весовыми коэффициентами, соответствующими известным весовым "окнам", а также "окнам", предложенным самим Lawrey.

В развитие этого подхода, аналогичная FBMC идея синтеза в приёмном сегменте банка частотных фильтров с помощью взвешенного суммирования откликов фильтров БПФ была предложена в апреле 2004 г.^[39]. При этом использовалась дополнительная фильтрация многочастотных сигналов перед выполнением преобразования Фурье с целью подавления боковых лепестков АЧХ частотных фильтров. Для этого применялось взвешенное суммирование откликов трёх частотных фильтров-дециматоров, синтезированных с помощью быстрого преобразования Фурье:

${\displaystyle w={\frac {U_{1}+\beta U_{2}+U_{3}}{\beta }}}$,

где ${\displaystyle U_{1}}$, ${\displaystyle U_{2}}$, ${\displaystyle U_{3}}$ - исходные отклики преобразования Фурье, ${\displaystyle w}$ - результат оконного преобразования, ${\displaystyle \beta =2}$ соответствует окну Ханна (Хеннинга), ${\displaystyle \beta =0.53836/0.23082}$ - окну Хэмминга^[2][39]. Реализация указанного взвешивания осуществляется в режиме скользящего окна по массиву откликов преобразования Фурье.

Поскольку при определённых законах взвешенного суммирования откликов фильтров БПФ (Хемминга, Хеннинга (Ханна) и др.) возможно аналитически описать закон изменения АЧХ результирующих фильтров, формирующих банк фильтрации, то интервал между поднесущими может быть задан меньше половины символьного интервала. В результате будет иметь место гибрид технологии N-OFDM и FBMC (N-OFDM+FBMC).

В настоящее время известны обобщения FBMC с учётом использования принципа MIMO (FBMC+ MIMO).

Разновидностью FBMC является использование вейвлет-фильтрации принятых N-OFDM сигналов^[22].

GFDM

GFDM (англ. Generalized Frequency Division Multiplexing) — обобщённый метод частотного дискретного мультиплексирования

N-OFDM+UFMC

UFMC (англ. universal filter multi-carrier) — технология универсальной фильтрации множества поднесущих. Предусматривает фильтрацию групп ортогональных поднесущих в передатчике для снижения внеполосного излучения и сокращения защитного частотного интервала между соседними каналами передачи данных^[40][41].

UFMC может быть применен в случае N-OFDM сигналов в дополнение к фильтрации отдельных групп поднесущих в приёмнике^[40].

Актуальность теории N-OFDM

Связь

Метод N-OFDM рассматривался в качестве прообраза технологической основы сетей связи 5G, физический уровень которых планировалось реализовать на неортогональных сигналах (Methodology for 5G Physical Layer Based on Non-orthogonal Waveforms). Европейский проект по стандартизации обработки неортогональных сигналов для сетей 5G получил наименование 5GNOW (5th Generation Non-Orthogonal Waveforms). Сайт проекта http://www.5gnow.eu/. В качестве претендентов на стандартизацию рассматривались разновидности неортогонального класса сигналов FBMC, GFDM и др.

Радиолокация

N-OFDM сигналы могут быть использованы для решения задач радиолокации, в том числе в интегрированных радарно-коммуникационных системах на основе технологии MIMO^[42].

Примечания

1. Слюсар, Вадим. Неортогональное частотное мультиплексирование (N-OFDM) сигналов. Часть 1.  (неопр.) Технологии и средства связи. – 2013. - № 5. С. 61 - 65. (2013). Дата обращения: 31 мая 2014. Архивировано 6 апреля 2016 года.
2. Слюсар, Вадим. Неортогональное частотное мультиплексирование (N-OFDM) сигналов. Часть 2.  (неопр.) Технологии и средства связи. – 2013. - № 6. C. 60 - 65. (2013). Дата обращения: 31 мая 2014. Архивировано 19 июня 2018 года.
3. Слюсар, В.И. Патент Российской Федерации № 2054684, G01R23/16. Способ измерения амплитудно-частотных характеристик. - 1992.  (неопр.) Опубл. 20.02.96, Бюл. № 5. (1992). Дата обращения: 8 августа 2017. Архивировано 8 августа 2017 года.
4. Sliusar, Vadym Іvanovych; Smoliar Viktor Hryhorovych.: Pat. of Ukraine № 47835 A. IPС8 H04J1/00, H04L5/00. Method of Frequency-Division Multiplexing of Nsrrow-Band Information Channels.  (неопр.) Appl. № 2001106761, Priority Data 03.10.2001. – Official Publication Data 15.07.2002, Official Bulletin № 7. (2002). Дата обращения: 31 мая 2014. Архивировано 4 марта 2016 года.
5. Sliusar, Vadym Іvanovych; Smoliar Viktor Hryhorovych, Stepanets Anatolii Mykhailovych, Sliusar Ihor Ivanovych.: Pat. of Ukraine № 47918 A. IPС8 H04J1/00, H04L5/00. Method for Frequency-Division Multiplexing of Nsrrow-Band Information Channels.  (неопр.) Appl. № 2001117512, Priority Data 05.11.2001. – Official Publication Data 15.07.2002, Official Bulletin № 7 (2002). Дата обращения: 31 мая 2014. Архивировано 4 марта 2016 года.
6. Слюсар, В.И., Смоляр В. Г. Частотное уплотнение каналов связи на основе сверхрелеевского разрешения сигналов.  (неопр.) Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника.- 2003. - Том 46, № 7. C. 30 - 39. (2003). Дата обращения: 31 мая 2014. Архивировано 29 августа 2018 года.
7. Слюсар, В.И., Смоляр В. Г. Метод неортогональной дискретной частотной модуляции сигналов для узкополосных каналов связи.  (неопр.) Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника.- 2004. - Том 47, № 4. C. 53 - 59. (2004). Дата обращения: 31 мая 2014. Архивировано 29 августа 2018 года.
8. M. R. D. Rodrigues and I. Darwazeh. A Spectrally Efficient Frequency Division Multiplexing Based Communications System.// InOWo'03, 8th International OFDM-Workshop, Proceedings, Hamburg, DE, September 24-25, 2003. - https://www.researchgate.net/publication/309373002 Архивная копия от 1 ноября 2018 на Wayback Machine
9. Masanori Hamamura, Shinichi Tachikawa. Bandwidth efficiency improvement for multi-carrier systems. //15th IEEE International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio Communications, vol. 1, Sept. 2004, pp. 48 — 52.
10. Li. D. B. A high spectral efficiency technology and method for overlapped frequency division multiplexing [P]. 2006, PCT/CN2006/002012 (in Chinese)
11. Xing Yang, Wenbao Ait, Tianping Shuait, Daoben Li. A Fast Decoding Algorithm for Non-orthogonal Frequency Division Multiplexing Signals // Communications and Networking in China, 2007. CHINACOM '07. — 22-24 Aug. 2007.- P. 595—598.
12. I. Kanaras, A. Chorti, M. Rodrigues, and I. Darwazeh, "A combined MMSE-ML detection for a spectrally efficient non orthogonal FDM signal, " in Broadband Communications, Networks and Systems, 2008. BROADNETS 2008. 5th International Conference on, Sept. 2008, pp. 421 −425.
13. I. Kanaras, A. Chorti, M. Rodrigues, and I. Darwazeh, "Spectrally efficient FDM signals: Bandwidth gain at the expense of receiver complexity, " in IEEE International Conference on Communications, 2009. ICC ’09., June 2009, pp. 1 −6.
14. Bharadwaj, S., Nithin Krishna, B.M.; Sutharshun, V.; Sudheesh, P.; Jayakumar, M. Low Complexity Detection Scheme for NOFDM Systems Based on ML Detection over Hyperspheres.//Devices and Communications (ICDeCom), 2011 International Conference on. — 24-25 Feb. 2011. — Pp. 1-5.
15. Ahmad, Norulhusna; S-Yusof, S. Kamilah; Fisal. Norsheila; Anwar, Khoirul; Matsumoto, Tad. Soft-feedback MMSE Equalization for Nonorthogonal Frequency Division Multiplexing (n-OFDM) Signal Detection.// 2012 International ITG Workshop on Smart Antennas (WSA). — 2012-03-07. — Pp. 248—255. — https://dspace.jaist.ac.jp/dspace/bitstream/10119/10532/1/17698.pdf Архивная копия от 7 августа 2017 на Wayback Machine.
16. Safa Isam A Ahmed. Spectrally Efficient FDM Communication Signals and Transceivers: Design, Mathematical Modelling and System Optimization.//A thesis submitted for the degree of PhD. — Communications and Information Systems Research Group Department of Electronic and Electrical Engineering University College London. — October, 2011.- http://discovery.ucl.ac.uk/1335609/1/1335609.pdf Архивная копия от 2 ноября 2018 на Wayback Machine
17. Darwazeh Izzat. A New look at Frequency Division Multiplexing; Operating below the Orthogonality Limit.//The 2nd IET International Conference on Wireless, Mobile & Multimedia Networks (ICWMMN 2008). - Beijing, China. - Oct. 12 - 15 , 2008.
18. Ioannis D. Kanaras. Spectrally Efficient Multicarrier Communication Systems: Signal Detection, Mathematical Modelling and Optimisation. A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy. - Communications and Information Systems Research Group, Department of Electronic and Electrical Engineering, University College London. - June 2010. – 214 p. - http://discovery.ucl.ac.uk/766544/1/766544.pdf Архивная копия от 2 ноября 2018 на Wayback Machine.
19. Слюсар В. И. Синтез алгоритмов измерения дальности М источников при дополнительном стробировании отсчётов АЦП.// Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника.- 1996. - Том 39, № 5. - C. 55 - 62.- http://slyusar.kiev.ua/IZV_VUZ_1996_5.pdf Архивная копия от 5 июня 2014 на Wayback Machine
20. Слюсар В.И., Живило Е.А. Цифровая фильтрация, эквивалентная тандемному квадратурному дециматору. //VI Международный научно-технический симпозиум «Новые технологии в телекоммуникациях» (ГУИКТ-Карпаты '2013), 21 - 25 января 2013. - Карпаты, Вышков.- C. 41 - 43. [https://web.archive.org/web/20160406103605/http://slyusar.kiev.ua/VYSHKIV_2013_2.pdf Архивная копия от 6 апреля 2016 на Wayback Machine]
21. Макаров С. Б., Завьялов С. В. Повышение помехоустойчивости когерентного приёма неортогональных многочастотных сигналов.//Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского Государственного политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. — Выпуск 2(193)/2014. — C.45 - 54. - http://ntv.spbstu.ru/fulltext/T2.193.2014_05.PDF Архивная копия от 5 июня 2014 на Wayback Machine
22. Слюсар В.И. Вейвлет-концепция для N-OFDM сигналов. // ІІ Всеукраїнська науково-технічна конференція «Проблеми інфокомунікацій», Полтава – Київ – Харків, 20-21 листопада 2018 р. - C. 39-41. [1] Архивная копия от 5 июля 2019 на Wayback Machine
23. Аршакян А.А. Ларкин Е.В. Частотные характеристики фильтров, выделяющих гармонические составляющие.// Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2012. [2]
24. Васильев К. А. Потенциальные границы частотного уплотнения сигналов N-OFDM на основе преобразования Хартли с квадратурной амплитудной модуляцией частотных несущих.// Системи управління, навігації та зв'язку, 2008, випуск 2(6). – С. 149 – 152.
25. Патент Украины на полезную модель № 41297. МПК (2006) G01S7/36, H03D13/00. Способ дополнительного стробирования отсчётов аналого-цифрового преобразователя. // Слюсар В.И., Васильев К.А. - Заявка на выдачу патента Украины на полезную модель №U200900296 от 15.01.2009. - Патент опубл. 12.05.2009, бюл. № 9. [3] Архивная копия от 20 апреля 2016 на Wayback Machine
26. M.R.D. Rodrigues, Izzat Darwazeh. Fast OFDM: A Proposal for Doubling the Data Rate of OFDM Schemes.// International Conference on Communications, ICT 2002, Beijing, China, June 2002. - Pp. 484 – 487
27. Dimitrios Karampatsis, M.R.D. Rodrigues and Izzat Darwazeh. Implications of linear phase dispersion on OFDM and Fast-OFDM systems.// London Communications Symposium 2002. - http://www.ee.ucl.ac.uk/lcs/previous/LCS2002/LCS112.pdf Архивная копия от 23 июля 2015 на Wayback Machine.
28. D. Karampatsis and I. Darwazeh. Performance Comparison of OFDM and FOFDM Communication Systems in Typical GSM Multipath Environments. // London Communications Symposium 2003 (LCS2003), London, UK, Pp. 360 – 372. - http://www.ee.ucl.ac.uk/lcs/previous/LCS2003/94.pdf Архивная копия от 23 июля 2015 на Wayback Machine.
29. K. Li and I. Darwazeh. System performance comparison of Fast-OFDM system and overlapping Multi-carrier DS-CDMA scheme.// London Communications Symposium 2006. - http://www.ee.ucl.ac.uk/lcs/previous/LCS2006/54.pdf Архивная копия от 23 июля 2015 на Wayback Machine.
30. E. Giacoumidis, I. Tomkos, and J. M. Tang. Performance of Optical Fast-OFDM in MMF-Based Links. // Optical Fiber Communication Conference and Exposition (OFC/NFOEC), 2011 and the National Fiber Optic Engineers Conference. - 6-10 March 2011.
31. E. Giacoumidis, S. K. Ibrahim, J. Zhao, J. M. Tang, A. D. Ellis, and I. Tomkos. Experimental and Theoretical Investigations of Intensity-Modulation and Direct-Detection Optical Fast-OFDM over MMF-Links.// IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 24, No. 1, January 1, 2012. – Pp. 52 – 54.
32. Jian Zhao and Andrew Ellis. Transmission of 4-ASK Optical Fast OFDM With Chromatic Dispersion Compensation.// IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 24, No. 1, January 1, 2012. – Pp. 34 – 36.
33. Bellanger M.G. FBMC physical layer: a primer / M.G. Bellanger et al. - January, 2010.
34. Farhang-Boroujeny B. OFDM Versus Filter Bank Multicarrier//IEEE Signal Processing M agazine.— 2011.— Vol. 28, № 3.— P. 92— 112.
35. В. В. Витязев, А. А. Овинников. Методы анализа/синтеза сигналов в системах беспроводной связи со многими несущими.//Электросвязь. - № 9, 2013. – С. 28- 32.
36. Behrouz Farhang-Boroujeny. Filter Bank Multicarrier for Next Generation of Communication Systems.//Virginia Tech Symposium on Wireless Personal Communications. — June 2-4, 2010.
37. Балашова К. В., Лобанов Н. А., Долгих Д. А. Filter bank multicarrier модулятор // Научная сессия ТУСУР–2012: матер. Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых учёных «Научная сессия ТУСУР–2012», посвящённой 50-летию ТУСУРа, 16–18 мая 2012 г. Томск, 2012. Ч. 2. С. 75–78.
38. Eric Phillip Lawrey BE (Hons). Adaptive Techniques for Multiuser OFDM. // Thesis for the degree of Doctor of Philosophy in Electrical and Computer Engineering. - School of Engineering, James Cook University. - December 2001. – http://www.skydsp.com/resources/OFDM_thesis_lawrey.PDF Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine
39. Слюсар В. И., Королев Н. А. Ващенко П. А. Метод повышения частотной избирательности систем сотовой связи, использующих цифровое диаграммообразование. // Тези доповіді ХІV НТК. Частина 1. - Житомир: ЖВІРЕ. - 2004. - С. 77. [4] Архивная копия от 22 августа 2021 на Wayback Machine
40. Слюсар В.И. Интеграция N-OFDM и UFMC. // Материалы IV Международной научно-практической конференции “Информационная безопасность и компьютерные технологии”: тезисы докладов, 15 – 16 апреля 2021. – Кропивницкий, 2021. - C. 48. - DOI: 10.13140/RG.2.2.23786.44480.[5] Архивная копия от 22 августа 2021 на Wayback Machine
41. Гришин И.В., Калинкина А.А. Обзор методов многочастотной модуляции сигналов в современных сетях беспроводной связи.//Информационные технологии и телекоммуникации. - Том 8, № 2. - 2020. - C. 55 - 67.
42. Миночкин А.И., Рудаков В.И., Слюсар В.И. Основы военно-технических исследований. Теория и приложения. Том. 2. Синтез средств информационного обеспечения вооружения и военной техники.//Под ред. А.П. Ковтуненко // - Киев: «Гранмна».. — 2012. — С. 7. [6].

Литература

• Миночкин А.И., Рудаков В.И., Слюсар В.И. Основы военно-технических исследований. Теория и приложения. Том. 2. Синтез средств информационного обеспечения вооружения и военной техники.//Под ред. А.П. Ковтуненко // - Киев: «Гранмна».. — 2012. — С. 7 - 98; 354 - 521. [7].

См. также

• OFDM
• COFDM
• Частотное разделение каналов

Ссылки

• Слюсарь Вадим Иванович, Новые матричные операции для цифровой обработки сигналов
• Европейский проект 5GNOW (5th Generation Non-Orthogonal Waveforms)