F-сигма-множество

F_σ-множество (читается F-сигма-множество) — счетное объединение замкнутых множеств. Обозначение «F-сигма» происходит от первой буквы слова фр. Fermé (замкнутый), и греческой буквы σ (сигма), обозначающей в данном контексте суммирование^[1]. Двойственным понятием к понятию F-сигма-множества является понятие G-дельта-множества.

Свойства

• В метризуемых пространствах каждое открытое множество является F-сигма-множеством.

• Дополнение к F_σ-множеству является G-дельта-множеством.

• Объединение счетного числа F_σ-множеств является F_σ-множеством.

• Пересечением конечного числа F_σ-множеств является F_σ-множеством.

• F-сигма-множества — то же что ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}}$ в иерархии Бореля^[англ.].

Примеры

• Каждое замкнутое множество является F_σ-множеством.

• Множество ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рациональных чисел является F_σ-подмножеством вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Дополнение ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$, то есть множество иррациональных чисел не является F-сигма-множеством.

• В тихоновских пространствах каждое счётное множество является F-сигма-множеством, поскольку любое одноточечное множество замкнуто.

• Множество на координатной плоскости из всех точек ${\displaystyle (x,y)}$ таких, что ${\displaystyle x/y}$ рационально, является F-сигма-множеством, так как оно является объединением всех прямых, проходящих через начало координат с рациональным угловым коэффициентом.

См. также

• G-дельта-множество — двойственное понятие.

Примечания

1. Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2009), Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, p. 23, ISBN 9781400835560 Источник  (неопр.). Дата обращения: 15 июля 2017. Архивировано 28 июля 2014 года..