163 (число)

Эта статья — о числе 163. Другие значения см. на странице 163 (значения).

163
сто шестьдесят три
← 161 · 162 · 163 · 164 · 165 →
Разложение на множители	163 (простое)
Римская запись	CLXIII
Двоичное	10100011
Восьмеричное	243
Шестнадцатеричное	A3
Медиафайлы на Викискладе

163 (сто шестьдесят три) — натуральное число, расположенное между числами 162 и 164.

Математика

163 — тридцать восьмое простое число.

Число Хегнера

Число 163 — наибольшее из чисел Хегнера^[1][2][3]. Это наибольшее значение d, при котором число классов мнимого квадратичного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ равно 1. Эквивалентно, кольцо целых этого поля является факториальным кольцом^[4][5].

Кольца целых чисел в поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ называются квадратичными кольцами^[5]. Существует шестнадцать евклидовых вещественных квадратичных колец для d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73^[6][7]; существует только пять евклидовых мнимых квадратичных колец, для d = −1, −2, −3, −7, −11^[5][7][8]. При d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 кольца целых в ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ являются факториальными (гипотеза Гаусса^[англ.])^{[5][1][9][10]}.

Дискриминант многочлена

${\displaystyle x^{2}-x+41,}$

значения которого при ${\displaystyle 0\leq x\leq 40}$ являются простыми числами, равен −163^[4]. Значение константы Рамануджана^[11][12]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743{,}9999999999992500725971981856888\ldots }$

отличается от ближайшего целого числа приблизительно на 7,5 × 10^−13[4].

Более того, равенство

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}[ne^{\pi {\sqrt {163}}/3}]\approx 1280640}$

выполняется с точностью более полумиллиарда десятичных знаков после запятой^[13].

Все эти факты связаны с тем, что классовое число квадратичного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})}$ равно 1, а поскольку 163 — наибольшее из чисел ${\displaystyle d}$, обладающих таким свойством, то и отличие ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}}$ от ближайшего целого минимально при выборе именно ${\displaystyle d=163}$^[4][3][14].

Непрерывные дроби

В конце 1964 года Дж. Бриллхарт и Моррисон осуществили численный эксперимент по разложению в непрерывные дроби кубических иррациональностей, в ходе которого было установлено, что разложение в непрерывную дробь действительного корня уравнения

${\displaystyle x^{3}-8x-10=0}$

содержит не менее 8 неполных частных, превосходящих 10 000: 22 986, 35 657, 48 120, 49 405, 53 460, 325 927, 1 501 790, 16 467 250. Как выяснилось позже, возникновение столь больших неполных частных связано с тем, что дискриминант уравнения равен ${\displaystyle 4\cdot (-163),}$ а число классов поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})}$ равно единице^[15].

Другие свойства

163 из 3⁹ = 19 683 матриц 3 × 3 с коэффициентами из [−1; 1] порождают (с использованием обычного матричного умножения) группу порядка 2^[16]. Если брать коэффициенты из [−n; n], то при n = 1, 2, 3, 4, 5, … число матриц, порождающих группу порядка 2, равно 163, 643, 1651, 3379, 5203, ….

В других областях

• 163 год; 163 год до н. э.
• NGC 163 — эллиптическая галактика (E) в созвездии Кит.
• 163 — код ГИБДД-ГАИ Самарской области.

См. также

• Счастливые числа Эйлера
• Группа классов идеалов

Примечания

1. Последовательность A003173 в OEIS = Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization (or class number 1) // Фрагмент: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
2. Erich Friedman. What's Special About This Number?  (неопр.) Архивировано из оригинала 14 ноября 2015 года.
3. Weisstein, Eric W. Heegner Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
4. Cam McLeman. The Ten Coolest Numbers  (неопр.). Дата обращения: 15 октября 2010. Архивировано из оригинала 11 ноября 2020 года.
5. Аскар Туганбаев, Пётр Крылов, Андрей Чехлов. Задачи и упражнения по основам общей алгебры: учебное пособие. — Litres, 2015. — С. 85. — ISBN 9785457475250. Архивировано 5 марта 2016 года.
6. Последовательность A003174 в OEIS = Positive integers D such that Q[sqrt(D)] is a quadratic field which is norm-Euclidean // Фрагмент: 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73
7. Последовательность A048981 в OEIS = Squarefree values of n for which the quadratic field Q[ sqrt(n) ] is norm-Euclidean // Фрагмент: -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73
8. Последовательность A263465 в OEIS = Values of D for which the imaginary quadratic field Q[ sqrt(-D) ] is norm-Euclidean // Фрагмент: 1, 2, 3, 7, 11
9. Ireland, Rosen, 1990, p. 14.
10. Разложимые формы, решётки, единицы, и число классов идеалов  (неопр.). Дата обращения: 22 ноября 2015. Архивировано 22 ноября 2015 года.
11. Weisstein, Eric W. Ramanujan Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
12. Последовательность A060295 в OEIS = Decimal expansion of e^(Pi*sqrt(163))
13. J. M. Borwein, D. H. Bailey and R. Girgensohn. Experimentation in Mathematics. — Natick, MA : A K Peters, 2004. — С. 14. — ISBN 978-1568811369.
14. Weisstein, Eric W. j-Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
15. Вычисления в алгебре и теории чисел, 1976, Х. М. Старк. Объяснение некоторых экзотических непрерывных дробей, найденных Бриллхартом, с. 155-156.
16. Последовательность A054466 в OEIS = Number of 3 X 3 integer matrices with elements in the range [ -n,n ] which generate a group of order two under binary matrix multiplication

Литература

• Kenneth Ireland, Michael Rosen. A classical introduction to modern number theory. — 2nd ed. — 1990.
• Вычисления в алгебре и теории чисел / Пер. с англ. Э. Г. Белаги, под ред. Б. Б. Венкова и Д. К. Фаддеева. — М.: Мир, 1976. — (Математика. Новое в зарубежной науке).
• Henri Cohen. A Course in Computational Algebraic Number Theory. — Springer Science & Business Media, 2013. — P. 229. — 536 p. — ISBN 3662029456.