*-алгебра (алгебра с инволюцией , алгебра с операцией сопряжения ) — ассоциативная алгебра с инволюцией , которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению .
*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является
(
x
+
y
)
∗ ∗ -->
=
x
∗ ∗ -->
+
y
∗ ∗ -->
{\displaystyle \ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}
(
x
y
)
∗ ∗ -->
=
y
∗ ∗ -->
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle \ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
1
∗ ∗ -->
=
1
{\displaystyle \ 1^{*}=1}
(
x
∗ ∗ -->
)
∗ ∗ -->
=
x
.
{\displaystyle \ (x^{*})^{*}=x.}
Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией .
*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R , с согласованием операции * в
R
⊂ ⊂ -->
A
.
{\displaystyle R\subset A.}
Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).
Тогда * сопряженно-линейное, то есть
(
λ λ -->
x
+
μ μ -->
y
)
∗ ∗ -->
=
λ λ -->
∗ ∗ -->
x
∗ ∗ -->
+
μ μ -->
∗ ∗ -->
y
∗ ∗ -->
λ λ -->
,
μ μ -->
∈ ∈ -->
R
;
x
,
y
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\;x,y\in A}
*-гомоморфизм
f
:
A
→ → -->
B
{\displaystyle \ f:A\to B}
гомоморфизм алгебр , который отображает инволюцию в A на инволюцию в B , то есть:
f
(
x
∗ ∗ -->
)
=
f
(
x
)
∗ ∗ -->
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
A
.
{\displaystyle f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.}
Элементы для которых
x
∗ ∗ -->
=
x
{\displaystyle \ x^{*}=x}
само-сопряженными , симметричными или эрмитовыми .
Элементы для которых
x
∗ ∗ -->
=
− − -->
x
{\displaystyle \ x^{*}=-x}
косо-сопряженными , анти-симметричными или анти-эрмитовыми .
Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде
ϕ ϕ -->
(
x
,
y
)
=
x
∗ ∗ -->
⋅ ⋅ -->
y
{\displaystyle \phi (x,y)=x^{*}\cdot y}
Основная статья:
C*-алгебра C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство :
‖ ‖ -->
x
∗ ∗ -->
x
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
‖ ‖ -->
x
∗ ∗ -->
‖ ‖ -->
,
{\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|,}
‖ ‖ -->
x
x
∗ ∗ -->
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
‖ ‖ -->
x
∗ ∗ -->
‖ ‖ -->
.
{\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.}
Оба условия эквивалентны.
Также они эквивалентны В*-свойству
‖ ‖ -->
x
x
∗ ∗ -->
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
2
.
{\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}.}
Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:
Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки (астериска ), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею:
x ↦ x *или
x ↦ x ∗ ΤΕ Χ x^*),но не «x ∗надстрочная черта x x † типографский крестик ).
H. G. Dales, Banach algebras and automatic continuity , Claren- don Press, Oxford, 2000, с. 142—150. 
