Эллипс Штейнера

Вписанный и описанный эллипсы Штейнера для треугольника. Показаны красным цветом

Существует единственное аффинное преобразование, которое переводит правильный треугольник в данный треугольник. Образ вписанной окружности правильного треугольника при таком преобразовании является эллипсом, который называют вписанным эллипсом Штейнера, а образ описанной окружности также является эллипсом, который называют описанным эллипсом Штейнера.

Определение вписанного эллипса Штейнера

• В треугольник можно вписать бесконечно много эллипсов.
• Однако в треугольник можно вписать единственный эллипс, который касается сторон в их серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера. Его перспектором будет центроид треугольника^[1].
• Определение перспектора коники (включая конику-эллипс) см. ниже.

Определение описанного эллипса Штейнера

• Около треугольника можно описать бесконечно много эллипсов.
• Однако около треугольника можно описать единственный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины и параллельных сторонам. Такой эллипс называется описанным эллипсом Штейнера.
• Фокусы описанного эллипса Штейнера называют точками Скутина.
• Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина).

Аффинное преобразование эллипса Штейнера

Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести произвольный разносторонний треугольник в правильный треугольник, то его вписанный и описанный эллипсы Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности.

Определение перспектора коники

• В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол).
• Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники.
• Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке^[2].

Свойства

• Вписанный эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в данный треугольник, а описанный — наименьшую среди всех описанных^[3].
• Вписанный эллипс Штейнера — эллипс, вписанный в треугольник и касающийся его сторон в серединах.

Свойства вписанной параболы

Парабола Киперта

• (Теорема Мардена) фокусы вписанного эллипса Штейнера являются экстремальными точками многочлена третьей степени с корнями в вершинах треугольника на комплексной плоскости.
• Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера^[4]. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр^[5]. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Примечания

1. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 54.
2. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 108.
3. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 55.
4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
5. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.

См. также

• Теорема Мардена
• Треугольник