Функция Эйри
График функций Ai(x ) (красный цвет) и Bi(x ) (синий цвет)
Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения
y
″
− − -->
x
y
=
0
,
{\displaystyle y''-xy\,=\,0\,,}
называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри )[ 1] . Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.
Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода
Ai
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}
(которая при
x
→ → -->
− − -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle x\rightarrow -\infty }
имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при
x
→ → -->
+
∞ ∞ -->
{\displaystyle x\rightarrow +\infty }
монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода
Bi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}
(которая при
x
→ → -->
− − -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle x\rightarrow -\infty }
также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при
x
→ → -->
+
∞ ∞ -->
{\displaystyle x\rightarrow +\infty }
монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций[ 2] . Обозначение Ai для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис , использовавший первые две буквы фамилии Эйри (англ. Airy )[ 3] . В 1946 году Джеффри Миллер [англ.] добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным[ 4] .
В. А. Фок предложил для обозначения функций Ai и Bi символы U и V соответственно.
Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме .
Определение
Для действительных
x
{\displaystyle x}
функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом [ 1] :
Ai
(
x
)
=
1
π π -->
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
cos
-->
(
t
3
3
+
x
t
)
d
t
,
{\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\!\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\,,}
Контуры интегрирования при вычислении Ai(z )
Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри
y
″
− − -->
x
y
=
0
.
{\displaystyle y''-xy\,=\,0\,.}
Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода
Bi
(
x
)
,
{\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x),}
у которой при
x
→ → -->
− − -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle x\rightarrow -\infty }
колебания имеют ту же амплитуду, что и у
Ai
(
x
)
,
{\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x),}
но отличаются по фазе на
π π -->
/
2
{\displaystyle \pi /2}
[ 5] . Для действительных
x
{\displaystyle x}
функция Эйри 2-го рода выражается интегралом[ 4] :
Bi
(
x
)
=
1
π π -->
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
[
exp
-->
(
− − -->
t
3
3
+
x
t
)
+
sin
-->
(
t
3
3
+
x
t
)
]
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]\,dt\,.}
Для комплексных
z
{\displaystyle z}
функция Эйри
Ai
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Ai} \,(z)}
определяется следующим образом:
Ai
(
z
)
=
∫ ∫ -->
γ γ -->
1
exp
-->
(
p
z
− − -->
p
3
3
)
d
p
,
{\displaystyle \operatorname {Ai} \,(z)\,=\,\int \limits _{\gamma _{1}}\!\exp \left(pz-{\frac {p^{3}}{3}}\right)\,dp\,,}
где контур
γ γ -->
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
представлен на рисунке[ 6] . Контуры
γ γ -->
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
и
γ γ -->
3
{\displaystyle \gamma _{3}}
также дают решение уравнения Эйри. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.
Функция
Bi
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Bi} \,(z)}
при произвольном комплексном
z
{\displaystyle z}
связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением[ 1] :
Bi
(
z
)
=
i
ω ω -->
2
Ai
(
ω ω -->
2
z
)
− − -->
i
ω ω -->
Ai
(
ω ω -->
z
)
,
ω ω -->
=
e
2
π π -->
i
/
3
.
{\displaystyle \operatorname {Bi} \,(z)\,=\,i\omega ^{2}\,\operatorname {Ai} \,(\omega ^{2}z)-i\omega \,\operatorname {Ai} \,(\omega z)\,,\quad \omega =e^{2\pi {i/3}}\,.}
Свойства
В точке
x
=
0
{\displaystyle x=0}
функции
Ai
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}
и
Bi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}
и их первые производные имеют такие значения:
Ai
(
0
)
=
1
3
2
/
3
Γ Γ -->
(
2
3
)
≈ ≈ -->
0
,
355
028
053
887
817
,
Ai
′
(
0
)
=
− − -->
1
3
1
/
3
Γ Γ -->
(
1
3
)
≈ ≈ -->
− − -->
0
,
258
819
403
792
807
,
Bi
(
0
)
=
1
3
1
/
6
Γ Γ -->
(
2
3
)
=
Ai
(
0
)
3
,
Bi
′
(
0
)
=
3
1
/
6
Γ Γ -->
(
1
3
)
=
− − -->
Ai
′
(
0
)
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}}\,\approx \,0,355\,028\,053\,887\,817\,,&\quad \operatorname {Ai} '\,(0)\,=\,-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}\,\approx \,-0,258\,819\,403\,792\,807\,,\\\operatorname {Bi} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}}\,=\,\operatorname {Ai} \,(0)\,{\sqrt {3}}\,,&\quad \operatorname {Bi} '\,(0)\,=\,{\frac {3^{1/6}}{\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}\,=\,-\operatorname {Ai} '\,(0)\,{\sqrt {3}}\,.\end{aligned}}}
где
Γ Γ -->
{\displaystyle \Gamma }
— гамма-функция [ 7] . Отсюда следует, что при
x
=
0
{\displaystyle x=0}
вронскиан функций
Ai
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}
и
Bi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}
равен
1
/
π π -->
{\displaystyle 1/\pi }
.
При положительных
x
{\displaystyle x}
Ai
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}
— положительная выпуклая функция , убывающая экспоненциально к 0, а
Bi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}
— положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных
x
{\displaystyle x}
Ai
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}
и
Bi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}
колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.
Асимптотические выражения
При
x
,
{\displaystyle x,}
стремящемся к
+
∞ ∞ -->
{\displaystyle +\infty }
[ 7] :
A
i
(
x
)
∼ ∼ -->
e
− − -->
2
3
x
3
/
2
2
π π -->
x
1
/
4
B
i
(
x
)
∼ ∼ -->
e
2
3
x
3
/
2
π π -->
x
1
/
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}
A
i
(
− − -->
x
)
∼ ∼ -->
sin
-->
(
2
3
x
3
/
2
+
1
4
π π -->
)
π π -->
x
1
/
4
B
i
(
− − -->
x
)
∼ ∼ -->
cos
-->
(
2
3
x
3
/
2
+
1
4
π π -->
)
π π -->
x
1
/
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}
Комплексный аргумент
Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле
A
i
(
z
)
=
1
2
π π -->
i
∫ ∫ -->
C
exp
-->
(
t
3
3
− − -->
z
t
)
d
t
,
{\displaystyle \mathrm {Ai} \,(z)\,=\,{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt\,,}
где интеграл берётся по контуру
C
,
{\displaystyle C,}
начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом
− − -->
π π -->
3
{\displaystyle -{\dfrac {\pi }{3}}}
и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом
π π -->
3
{\displaystyle {\dfrac {\pi }{3}}}
. Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение
y
″
− − -->
x
y
=
0
{\displaystyle y''-xy=0}
для продолжения
A
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Ai} \,(x)}
и
B
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Bi} \,(x)}
до целых функций на комплексной плоскости.
Асимптотическая формула для
A
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Ai} \,(x)}
остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение
x
2
/
3
{\displaystyle x^{2/3}}
и
x
{\displaystyle x}
не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для
B
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Bi} \,(x)}
верна, если x лежит в секторе
{
x
∈ ∈ -->
C
:
|
arg
x
|
<
π π -->
− − -->
δ δ -->
3
}
{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {\pi -\delta }{3}}\right\}}
для некоторого положительного
δ δ -->
{\displaystyle \delta }
. Формулы для
A
i
(
− − -->
x
)
{\displaystyle \mathrm {Ai} \,(-x)}
и
B
i
(
− − -->
x
)
{\displaystyle \mathrm {Bi} \,(-x)}
верны, если x лежит в секторе
{
x
∈ ∈ -->
C
:
|
arg
x
|
<
2
(
π π -->
− − -->
δ δ -->
)
3
}
{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {2(\pi -\delta )}{3}}\right\}}
.
Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции
A
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Ai} \,(x)}
на комплексной плоскости нет других нулей, а функция
B
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Bi} \,(x)}
имеет бесконечно много нулей в секторе
{
z
∈ ∈ -->
C
:
π π -->
3
<
|
arg
z
|
<
π π -->
2
}
{\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} \,:\,{\frac {\pi }{3}}<|{\text{arg}}\,z|<{\frac {\pi }{2}}\right\}}
.
Связь с другими специальными функциями
Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя :
A
i
(
x
)
=
1
π π -->
1
3
x
K
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
,
B
i
(
x
)
=
1
3
x
(
I
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
+
I
− − -->
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(x)\,=\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}}
где I ±1/3 и K 1/3 — решения уравнения
x
2
y
″
+
x
y
′
− − -->
(
x
2
+
1
/
9
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0}
.
Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя :
A
i
(
− − -->
x
)
=
1
3
x
(
J
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
+
J
− − -->
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
)
,
B
i
(
− − -->
x
)
=
1
3
x
(
J
− − -->
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
− − -->
J
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)\,=\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(-x)\,=\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}}
где J ±1/3 — решения уравнения
x
2
y
″
+
x
y
′
+
(
x
2
− − -->
1
/
9
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0}
.
Функции Скорера являются решениями уравнения
y
″
− − -->
x
y
=
1
/
π π -->
.
{\displaystyle y''-xy=1/\pi .}
Они также могут быть выражены через функции Эйри:
G
i
(
x
)
=
B
i
(
x
)
∫ ∫ -->
x
∞ ∞ -->
A
i
(
t
)
d
t
+
A
i
(
x
)
∫ ∫ -->
0
x
B
i
(
t
)
d
t
,
H
i
(
x
)
=
B
i
(
x
)
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
x
A
i
(
t
)
d
t
− − -->
A
i
(
x
)
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
x
B
i
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,,\\\mathrm {Hi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,.\end{aligned}}}
См. также
Примечания
↑ 1 2 3 Федорюк М. В. . Эйри функции // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия , 1985. Архивировано 17 ноября 2020 года. — 1248 стб. — Стб. 939—941.
↑ Попов и Теслер, 1984 , с. 381—382.
↑ Vallée O., Soares M. . Airy Functions and Applications to Physics . — London: Imperial College Press , 2004. — x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 . Архивировано 10 июня 2016 года. — P. 4.
↑ 1 2 Airy Function Ai: Introduction to the Airy functions (неопр.) . // The Wolfram Functions Site. Дата обращения: 12 февраля 2016. Архивировано 3 июня 2016 года.
↑ Попов и Теслер, 1984 , с. 385.
↑ Ландау и Лифшиц, 1974 , с. 736.
↑ 1 2 Попов и Теслер, 1984 , с. 386.
Литература
Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. . Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 3-е изд. — М. : Наука , 1974. — 752 с. — (Теоретическая физика, т. III).
Попов Б. А., Теслер Г. С. . Вычисление функций на ЭВМ: Справочник. — Киев: Наукова думка , 1984. — 599 с.
Airy G. B. . On the Intensity of Light in the Neighbourhood of a Caustic // Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 1838, 6 . — P. 379—402.
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / Ed. by M. Abramowitz and I. A. Stegun. — New York: Academic Press , 1954. — xiv + 1046 p. (недоступная ссылка) (See § 10.4) .
Olver F. W. G. . Chapter 11. Differential Equations with a Parameter: Turning Points // Asymptotics and Special Functions. — New York: Academic Press , 1974. — xvi + 571 p. — (Computer Science and Applied Mathematics). — P. 392—434.
Ссылки