Родился Борис Тихомиров в семье фельдшера близ Вологды24 июля1909 года. Учился в школе в Вологде, в 1926 году поступил на агрономический факультет Тимирязевской академии в Москве. Окончил Академию в 1930 году, после чего стал сотрудником Института лугов и пастбищ, участвовал в Дальневосточной экспедиции, проводимой этим институтом.
С 1934 года Тихомиров учился в аспирантуре Ботанического института АН СССР, в 1935 году ему была присвоена степень кандидата биологических наук. Также в 1935 году Б. А. Тихомиров вместе с Борисом Николаевичем Городковым ездил на экспедицию в Якутию.
В 1944 году Борис Анатольевич Тихомиров стал доктором биологических наук.
В 1946—1949 годах он участвовал в нескольких экспедициях на Таймыр.
С 1952 года Б. А. Тихомиров руководил сектором растительности Севера отдела геоботаники БИН, впоследствии — лабораторией Крайнего Севера.