Теорема Штейнера (планиметрия)

${\displaystyle {\frac {BM}{CM}}\cdot {\frac {BN}{CN}}=\left({\frac {AB}{AC}}\right)^{2}.}$

Теорема Штейнера — классическая теорема геометрии треугольника, обобщение теоремы о биссектрисе. Названа в честь Якоба Штейнера.

Формулировка

Пусть через вершину ${\displaystyle A}$ треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ внутри него проведены две прямые, образующие равные углы со сторонами ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ и пересекающие сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$. Тогда

${\displaystyle {\frac {BM}{CM}}\cdot {\frac {BN}{CN}}=\left({\frac {AB}{AC}}\right)^{2}}$.

Верно и обратное утверждение: если выполняется равенство ${\displaystyle {\frac {BM}{CM}}\cdot {\frac {BN}{CN}}=\left({\frac {AB}{AC}}\right)^{2}}$, то ${\displaystyle \angle BAM=\angle CAN}$.

Важный частный случай теоремы

Из теоремы Штейнера, как частный случай, получается теорема о биссектрисе. Действительно, пусть в сформулированной выше теореме точки M и N совпадают, образуя точку D, тогда они являются основанием биссектрисы, опущенной из вершины A на сторону BC. В этом частном случае мы имеем ${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}\cdot {\frac {BD}{CD}}=\left({\frac {AB}{AC}}\right)^{2}}$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, имеем ${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}}$, что и составляет суть теоремы о биссектрисе.

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 32. — ISBN 5-94057-170-0.

См. также

• Кривая Штейнера
• Теорема Гюйгенса — Штейнера
• Теорема Мардена
• Теорема Штейнера — Лемуса
• Теорема Штейнера — Понселе
• Точка Штейнера
• Треугольник
• Эллипс Штейнера